デュラチャ大学数学 のバックアップ(No.8)


実数 Edit



a,b∈Rに対して、a+b,a-b,ab,b/a(a≠0)が
Rの中に存在し、和、積に関して
交換律、結合律、分配律が成り立つ。

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関数の極限の定義 Edit



lim[x→x₀]f(x)=A
⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε


lim[x→x₀]f(x)=∞
⇔∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)>K


lim[x→x₀]f(x)=-∞
⇔∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)<-K


【例題1】 lim[x→1](2x+1)=3を示せ。

解説：f(x)=2x+1とする。任意のε>0に対して 
|f(x)-3|=2|x-1|<ε ⇔ |x-1|<ε/2より
上記の定義においてδ(ε)=ε/2とおけば
∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) 
s.t. 0<|x-x0|<δ(ε) , |f(x)-3|<ε。



【例題2】 lim[x→0]√|x|=0を示せ。

解説：f(x)=√|x|とする。任意のε>0に対して
|f(x)-0|=√|x|<ε ⇔ |x|<ε²より
上記の定義においてδ(ε)=ε²とおけば
∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-0|<δ(ε) , |f(x)-0|<ε。



【例題3】 lim[x→0](1/|x|)=∞を示せ。

解説：f(x)=1/|x|とする。任意のK>0に対して
f(x)>K ⇔ |x|<1/Kであるから
上記の定義においてδ(K)=1/Kとおけば
∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. |x-0|<δ(K) , f(x)>K。



定理1：
lim[x→x0]f(x)=A ⇔ ∀{x[n]} s.t.
lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) , lim[n→∞]f(x[n])=A


定理1の証明：
【必要性】
lim[x→x₀]f(x)=A
⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε。
また、lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀)
⇔ ∀δ(ε)>0 , ∃N(δ(ε))∈N ,
∀n≧N(δ(ε)) , 0<|x[n]-x₀|<δ(ε)より
∀ε>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀x[n]∈D(f)
s.t. n≧N(δ(ε)) , |f(x[n])-A|<ε。
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