<a href="https://drrr.swiki.jp/index.php?cmd=related&amp;page=%E3%83%87%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%81%E3%83%A3%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%B0%E5%AD%A6">デュラチャ大学数学</a>

数列の極限

数列の極限に入る前に、準備として
εを使った論理の練習から始めよう。
なお、この単元では特に断りがない限り
α,βは実数として扱うことにする。


【例題1】 次の命題が真であることを示せ。(∀a,b∈R)
(1) ∀ε>0(a≦b+ε) ⇔ a≦b
(2) ∀ε>0(a<b+ε) ⇔ a≦b
(3) ∀ε≧0(a≦b+ε) ⇔ a≦b
(4) ∀ε≧0(a<b+ε) ⇔ a<b
(5) ∀ε>0(|a-b|<ε) ⇔ a=b
(6) ∀ε>0(|a-b|≦ε) ⇔ a=b

(Pf) (1) →の証明：a>bと仮定すると
a>b+εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明：a≦b ⇒ a≦b≦b+ε(∀ε>0)
(2) →の証明：a>bと仮定すると
a>b+εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明：a≦b ⇒ a≦b<b+ε(∀ε>0)
(3) →の証明：a>bと仮定すると
a>b+εとなるε≧0が存在し、矛盾する。
←の証明：a≦b ⇒ a≦b≦b+ε(∀ε≧0)
(4) →の証明：a≧bと仮定すると
a≧b+εとなるε≧0が存在し、矛盾する。
←の証明：a<b ⇒ a<b≦b+ε(∀ε≧0)
(5) →の証明：a≠bと仮定すると
|a-b|>εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明：a=b ⇒ |a-b|=0<ε(∀ε>0)
(6) →の証明：a≠bと仮定すると
|a-b|>εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明：a=b ⇒ |a-b|=0≦ε(∀ε>0)

(A) 数列の極限の定義 (ε-N論法)
{a[n]}を数列、α∈Rとする。
lim[n→∞]a[n]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
lim[n→∞]a[n]=αが成り立つとき、{a[n]}は
αに収束するといい、αを{a[n]}の極限値という。


【例題2】 次の命題(1)～(4)は同値であることを示せ。
(1) ∀ε1>0 , ∃N1(ε1)∈N , ∀n≧N1(ε1) , |a[n]-α|<ε1
(2) ∀ε2>0 , ∃N2(ε2)∈N , ∀n>N2(ε2) , |a[n]-α|<ε2
(3) ∀ε3>0 , ∃N3(ε3)∈N , ∀n≧N3(ε3) , |a[n]-α|≦ε3
(4) ∀ε4>0 , ∃N4(ε4)∈N , ∀n≧N4(ε4) , |a[n]-α|<2ε4

(Pf) (1)⇒(2)：(1)を仮定し、∀ε2>0をとる。
N2(ε2)=N1(ε2) , n>N2(ε2) ⇒ n>N1(ε2)
⇒ n≧N1(ε2) ⇒ |a[n]-α|<ε2 。
(2)⇒(1)：(2)を仮定し、∀ε1>0をとる。
N1(ε1)=N2(ε1)+1 , n≧N1(ε1)
⇒ n≧N2(ε1)+1 ⇒ n>N2(ε1) ⇒ |a[n]-α|<ε1
(1)⇒(3)：(1)を仮定し、∀ε3>0をとる。
N3(ε3)=N1(ε3) , n≧N3(ε3) ⇒ n≧N1(ε3)
⇒ |a[n]-α|<ε3 ⇒ |a[n]-α|≦ε3
(3)⇒(1)：(3)を仮定し、∀ε1>0をとる。
N1(ε1)=N3((ε1)/2) , n≧N1(ε1) ⇒ n≧N3((ε1)/2)
⇒ |a[n]-α|≦(ε1)/2 ⇒ |a[n]-α|<ε1
(1)⇒(4)：(1)を仮定し、∀ε4>0をとる。
N4(ε4)=N1(ε4) , n≧N4(ε4) ⇒ n≧N1(ε4)
⇒ |a[n]-α|<ε4 ⇒ |a[n]-α|<2ε4
(4)⇒(1)：(4)を仮定し、∀ε1>0をとる。
N1(ε1)=N4((ε1)/2) , n≧N1(ε1) ⇒ n≧N4((ε1)/2)
⇒ |a[n]-α|<2・{(ε1)/2}=ε1

※2ε4の2は任意の正数に置き換え可能。


【例題3】 lim[n→∞](1/n)=0を示せ。

(Pf) アルキメデスの原理より
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 1/ε<N(ε) , 
∀n≧N(ε) , |(1/n)-0|
=|1/n|=1/n≦1/N(ε)<ε 。

【例題4】 lim[n→∞](3n-2)/(2n+1)=3/2を示せ。

(Pf) |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|
=|{2(3n-2)-3(2n+1)}/{2(2n+1)}|
=7/{2(2n+1)}<4/n
アルキメデスの原理より
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 4/ε<N(ε) , 
∀n≧N(ε) , |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|
<4/n≦4/{N(ε)}<ε 。

【例題5】 lim[n→∞](ⁿ√n)=1を示せ。

(Pf) ⁿ√n<1と仮定する。ⁿ√n>0より
両辺をn乗してn<1。これはn≧1に反する。
よって、ⁿ√n≧1なのでⁿ√n=1+xとおくとx≧0 。
n=(1+x)^n≧1+nx+({n(n-1)}/2)x²>({n(n-1)}/2)x²
|ⁿ√n-1|²=x²<2/(n-1)
∴∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t.
2/{N(ε)-1}<ε² , ∀n≧N(ε) , 
|ⁿ√n-1|<√{2/(n-1)}
≦√(2/{N(ε)-1})<ε

※√a+bとは(√a)+bのことである。


【例題6】 lim[n→∞]a[n]=α ,
b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]
⇒ lim[n→∞]b[n]=α を示せ。

(Pf) ∀ε>0 , ∃N1(ε),N2(ε)∈N
s.t. (n>N1(ε) ⇒ |a[n]-α|<ε)∧
((1/ε)Σ[k=1→N1(ε)]|a[k]-α|<N2(ε)) , 
∀n>max{N1(ε),N2(ε)} , 
|b[n]-α|=|(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α|
=|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)|
≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α|
=(1/n)Σ[k=1→N1(ε)]|a[k]-α|+
(1/n)Σ[k=N1(ε)+1→n]|a[k]-α|
<(1/n)Σ[k=1→N1(ε)]|a[k]-α|+
({(n-N(ε)}/n)・ε<ε+ε=2ε

極限の一意性：
lim[n→∞]a[n]=α ,
lim[n→∞]a[n]=β ⇒ α=β

(Pf)  (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
|α-β|≦|α-a[n]|+|a[n]-β|<ε+ε=2ε 。
∴α=β

数列{a[n]}は上に有界
⇔ ∃α∈R s.t. ∀n∈N , a[n]≦α

数列{a[n]}は下に有界
⇔ ∃β∈R s.t. ∀n∈N , β≦a[n]

数列{a[n]}は有界
⇔ ∃K>0 s.t. ∀n∈N , |a[n]|≦K


(Thm1) 収束する数列は有界である。

(Pf) lim[n→∞]a[n]=αとすると
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n>N(ε) , |a[n]-α|<ε
であるから、ε=1をとると
∃N(1)∈N , ∀n>N(1) , |a[n]-α|<1 。
このとき、|a[n]|=|(a[n]-α)+α|<1+|α|より
K=max{|a[1]| , ...
... , |a[N(1)]| , 1+|α|}とおくと
∀n∈K , |a[n]|≦K 。よって、{a[n]}は有界。

※証明の都合上、∀n≧N(ε)にはしなかった。


(Thm2) (∀n∈N , a[n]≦(<)b[n])∧
(lim[n→∞]a[n]=α , lim[n→∞]b[n]=β) ⇒ α≦β

(Pf) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
α-ε<a[n]≦(<)b[n]<β+ε 。
∴α≦β (∵∀ε>0 , α-β<2ε)

lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K

lim[n→∞]a[n]=-∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K

このとき、数列{a[n]}は∞又は-∞に発散するという。


【例題7】 数列{a[n]}が∞に発散するとき、
{a[n]}は収束しないことを示せ。

(Pf) ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n>N(K) , a[n]>K
⇒ (L=min{a[1] , ...
... , a[N(K)] , K} ⇒ ∀n∈N , a[n]≧L)
⇒ {a[n]}は下に有界
⇒ {a[n]}は有界ではない
⇒ {a[n]}は収束しない

【例題8】 数列{a[n]}が-∞に発散するとき、
{a[n]}は収束しないことを示せ。

(Pf) ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n>N(K) , a[n]<-K
⇒ (L=max{a[1] , ...
... , a[N(K)] , -K} ⇒ ∀n∈N , a[n]≦L)
⇒ {a[n]}は上に有界
⇒ {a[n]}は有界ではない
⇒ {a[n]}は収束しない

例題7,8のように収束しない数列は発散するという。
発散する数列はこの他に振動する数列がある。


数列の極限の性質：
lim[n→∞]a[n]=α , lim[n→∞]b[n]=βのとき
(i) lim[n→∞](a[n]±b[n])=α±β
(ii) lim[n→∞](ca[n])=cα (cは定数)
(iii) lim[n→∞](a[n]b[n])=αβ
(iv) lim[n→∞](b[n]/a[n])=β/α (α≠0)
(v) {a[n]}の有限個の項を変えたり、取り除いたり、
{a[n]}に有限個の項を加えたりしても新たな数列
において収束する値、発散の状態は不変。

(Pf) (i) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 
|a[n]-α|<ε)∧(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , 
|a[n]-β|<ε)より、∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |a[n]±b[n]-(α±β)|
=|(a[n]-α)±(b[n]-β)|≦|a[n]-α|+|b[n]-β|<2ε 。
(ii) c=0のとき ∀ε>0 , ∀n∈N , |ca[n]-cα|=0<ε 。
c≠0のとき ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |
a[n]-α|<εより、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , 
|ca[n]-cα|=|c(a[n]-α)|≦|c||a[n]-α|<|c|ε 。
(iii) 収束列は有界なので、∃K>0(∀n∈N(|b[n]|<K)) 。
そこで、(∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 
|a[n]-α|<ε)∧(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |b[n]-β|<ε)より、∀ε>0 , 
∃max{N1(ε/(2K)),N2(ε/(2|α|))}∈N , 
∀n≧max{N1(ε/(2K)),N2(ε/(2|α|))} , 
|a[n]b[n]-αβ|=|(a[n]-α)b[n]+α(b[n]-β)|
≦|a[n]-α||b[n]|+|α||b[n]-β|
<{ε/(2K)}・K+|α|・{ε/(2|α|)}=ε 。
(iv) lim[n→∞]{1/(a[n])}=1/αを示せば良い。
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより
このときε=|α|/2>0をとると、|a[n]-α|<|α|/2であり
|a[n]|=|α-(α-a[n])|≧|α|-|α-a[n]|>|α|/2なので
∀ε>0 , ∃max(N(|α|/2),N((|α|/2)・|α|・ε))∈N , 
∀n≧max(N(|α|/2) , N((|α|/2)・|α|・ε)) , 
|(1/a[n])-(1/α)|=|α-a[n]|/(|a[n]||α|)
<{(|α|/2)・|α|・ε}/(|α|/2・|α|)=ε 。
(v) {a[n]}の有限個の項を変えることは{a[n]}の
有限個の項を取り除き、有限個の項を加えることに
等しいので、取り除く場合と加える場合について考える。
<1> {a[n]}から有限個の項を取り除くとき
{a[n]}からk個(∀k∈N)の項a[n(1)],・・・,a[n(k)]を
取り除いた数列を{b[n]}とおく。(n(1)<n(2)<・・・)
[1] lim[n→∞]a[n]=αの場合
lim[n→∞]a[n]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
(1) N(ε)>n(k)のとき。
a[N(ε)]=b[N(ε)-k]より、N(ε)-k=N1(ε)とおくと
∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,∀n≧N1(ε) , |b[n]-α|<ε 。
(2) N(ε)≦n(k)のとき
a[n(k)+1]=b[n(k)+1-k]より
n(k)+1-k=N2(n(k))とおくと
∀ε>0 , ∃N2(n(k))∈N ,
∀n≧N2(n(k)) , |b[n]-α|<ε 。
(1),(2)より、lim[n→∞]b[n]=α 。
[2] lim[n→∞]a[n]=∞の場合
lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K
(3) N(K)>n(k)のとき
a[N(K)]=b[N(K)-k]より、N(K)-k=N3(K)とおくと
∀K>0 , ∃N3(K)∈N , ∀n≧N3(K) , b[n]>K 。
(4) N(ε)≦n(k)のとき
a[n(k)+1]=b[n(k)+1-k]より
n(k)+1-k=N4(n(k))とおくと、∀K>0 ,
∃N4(n(k))∈N , ∀n≧N4(n(k)) , b[n]>K 。
(3),(4)より、lim[n→∞]b[n]=∞ 。
[3] lim[n→∞]a[n]=-∞の場合
lim[n→∞]a[n]=-∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K
(5) N(K)>n(k)のとき
a[N(K)]=b[N(K)-k]より、N(K)-k=N5(K)とおくと
∀K>0 , ∃N5(K)∈N , ∀n≧N5(K) , b[n]<-K 。
(6) N(ε)≦n(k)のとき
a[n(k)+1]=b[n(k)+1-k]より
n(k)+1-k=N6(n(k))とおくと
∀K>0 , ∃N6(n(k))∈N ,
∀n≧N6(n(k)) , b[n]<-K 。
(5),(6)より、lim[n→∞]b[n]=-∞ 。
<2> {a[n]}に有限個の項を加えるとき
{a[n]}にk個の数列{c[n]}(1≦n≦k)を
付け加えて得られる数列を{b[n]}とおく。
ただし、c[m1](1≦m1≦k)が{b[n]}の第A項、
c[m2](m1<m2≦k)が{b[n]}の第B項のとき
A<Bであるとする。すなわち、c[1]～c[k]のうち
c[k]が{b[n]}において最も後ろにある項である。
[4] lim[n→∞]a[n]=αの場合
lim[n→∞]a[n]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
(7) {a[n]}の第N(ε)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(ε)]=b[N(ε)+k]より、N(ε)+k=N7(ε)とおくと
∀ε>0 , ∃N7(ε)∈N ,∀n≧N7(ε) , |b[n]-α|<ε 。
(8) {a[n]}の第N(ε)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(ε)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(ε)>N(ε)は明らかである。)
a[N0(ε)]=b[N0(ε)+k]より、N0(ε)+k=N8(ε)とおくと
∀ε>0 , ∃N8(ε)∈N ,∀n≧N8(ε) , |b[n]-α|<ε 。
(7),(8)より、lim[n→∞]b[n]=α 。
[5] lim[n→∞]a[n]=∞の場合
lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K
(9) {a[n]}の第N(K)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(K)]=b[N(K)+k]より、N(K)+k=N9(K)とおくと
∀ε>0 , ∃N9(K)∈N ,∀n≧N9(K) , |b[n]-α|<ε 。
(10) {a[n]}の第N(K)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(K)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(K)>N(K)は明らかである。)
a[N0(K)]=b[N0(K)+k]より、N0(K)+k=N10(K)とおくと
∀K>0 , ∃N10(K)∈N , ∀n≧N10(K) , a[n]>K 。
(9),(10)より、lim[n→∞]b[n]=∞ 。
[5] lim[n→∞]a[n]=∞の場合
lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K
(9) {a[n]}の第N(K)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(K)]=b[N(K)+k]より、N(K)+k=N9(K)とおくと
∀ε>0 , ∃N9(K)∈N ,∀n≧N9(K) , b[n]>K 。
(10) {a[n]}の第N(K)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(K)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(K)>N(K)は明らかである。)
a[N0(K)]=b[N0(K)+k]より、N0(K)+k=N10(K)とおくと
∀K>0 , ∃N10(K)∈N , ∀n≧N10(K) , b[n]>K 。
(9),(10)より、lim[n→∞]b[n]=∞ 。
[6] lim[n→∞]a[n]=-∞の場合
lim[n→∞]a[n]=-∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K
(11) {a[n]}の第N(K)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(K)]=b[N(K)+k]より、N(K)+k=N11(K)とおくと
∀ε>0 , ∃N11(K)∈N ,∀n≧N11(K) , b[n]<-K 。
(12) {a[n]}の第N(K)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(K)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(K)>N(K)は明らかである。)
a[N0(K)]=b[N0(K)+k]より、N0(K)+k=N12(K)とおくと
∀K>0 , ∃N12(K)∈N , ∀n≧N12(K) , b[n]<-K 。
(11),(12)より、lim[n→∞]b[n]=-∞ 。
<1>,<2>より、(v)は示された。
(振動に関しても背理法より直ちに一致する。)

はさみうちの原理：
(∀n∈N , a[n]≦b[n]≦c[n])∧
(lim[n→∞]a[n]=α)∧(lim[n→∞]c[n]=α)
⇒ lim[n→∞]b[n]=α

(Pf) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 
|a[n]-α|<ε)∧(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |c[n]-α|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,
α-ε<a[n]≦b[n]≦c[n]<α+ε 。
∴∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |b[n]-α|<ε 。

(Thm3) (∀n∈N , a[n]≦b[n])∧
(lim[n→∞]a[n]=∞) ⇒ lim[n→∞]b[n]=∞

(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , b[n]≧a[n]>K 。

(Thm4) (∀n∈N , a[n]≦b[n])∧
(lim[n→∞]b[n]=-∞) ⇒ lim[n→∞]a[n]=-∞

(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , a[n]≦b[n]<-K 。

{a[n]}は(単調)増加列 ⇔ ∀n∈N , a[n]≦a[n+1]
{a[n]}は(単調)減少列 ⇔ ∀n∈N , a[n]≧a[n+1]
{a[n]}は単調数列 ⇔ {a[n]}は増加列または減少列


(Thm5) ∀α∈Rに収束する増加列{r[n]}が存在する。

(Pf) ∀n∈N , ∃r[n]∈Q s.t. 
α-(1/n)<r[n]<α-{1/(n+1)} 。
このとき、r[n]<α-{1/(n+1)}<r[n+1]より
{r[n]}は増加列であり、α-(1/n)→α ,
α-{1/(n+1)}→α 。 ∴r[n]→α 。

※r[n]→αとはlim[n→∞]r[n]=αのことである。


(Thm6) 上に有界な増加列は収束する。

(Pf) {a[n]}を上に有界な増加列とすると
α=sup{a[n]}が存在する。このとき、∀ε>0 ,
∃N(ε)∈N s.t. α-ε<a[N(ε)]≦α<α+ε ,
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε 。 

(Thm7) 下に有界な減少列は収束する。

{a[n]}を下に有界な減少列とすると
α=inf{a[n]}が存在する。このとき、∀ε>0 ,
∃N(ε)∈N s.t. α-ε<α≦a[N(ε)]<α+ε , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε 。

(Thm8) 上に有界でない増加列は∞に発散する。

(Pf) {a[n]}を上に有界でない増加列とする。
このとき、{a[n]}は上に有界ではないので
∀α∈R , ∃N(α)∈N s.t. a[n]>α 。
また、{a[n]}は増加列であるからα=K>0として
∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K 。

(Thm9) 下に有界でない減少列は-∞に発散する。

(Pf) {a[n]}を下に有界でない減少列とする。
このとき、{a[n]}は下に有界ではないので
∀α∈R , ∃N1(α)∈N s.t. a[n]<α 。
また、{a[n]}は減少列であるからα=-K<0として
∀-K<0 , ∃N1(-K)∈N , ∀n≧N1(-K) , a[n]<-K 。
ここで、N1(-K)=N(K)とおくと
∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K 。

(Thm10) 数列{a[n]}に対して、
lim[n→∞](|a[n+1]|/|a[n]|)=cのとき
[i] 0≦c<1 ⇒ lim[n→∞]a[n]=0
[ii] 1<c ⇒ lim[n→∞]|a[n]|=∞ 。

(Pf) [i] 仮定より、∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |(|a[n+1]|/|a[n]|)-c|<ε 。
このとき、|a[n+1]|/|a[n]|<c+ε 。
c'=c+ε s.t. c<c'<1をとると∃N(c')∈N , 
∀n≧N(c') , |a[n+1]|/|a[n]|<c'
|a[n+1]|<c'|a[n]|<|a[n]|より、n≧N(c')で
{|a[n]|}は単調減少かつ|a[n]|≧0より、{a[n]}は収束。
lim[n→∞]|a[n]|=αとすると0≦α 。
|a[n+1]|<c’|a[n]|でn→∞とするとα≦c’α 。
背理法によりα≦0 。よって、α=0 。
[ii] b[n]=1/|a[n]|とおくと
lim[n→∞](b[n+1]/b[n])
=lim[n→∞](|a[n]|/|a[n+1]|)
=1/c<1。また、[i]よりlim[n→∞]b[n]=0 。
よって、lim[n→∞]|a[n]|=∞ 。

※lim[n→∞](1/|a[n]|)=0
⇔ ∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |1/|a[n]||<ε
⇔ ∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 1/|a[n]|<ε
⇔ ∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 1/ε<|a[n]|
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , |a[n]|>K
⇔ lim[n→∞]a[n]=∞


【例題9】 ∀a∈R , lim[n→∞]{(aⁿ)/(n!)}=0を示せ。

(Pf) |{a^(n+1)}/{(n+1)!)}|/|(aⁿ)/(n!)|=|a|/n
∴|{a^(n+1)}/{(n+1)!)}|/|(aⁿ)/(n!)|→0
よって、∀a∈R , lim[n→∞]{(aⁿ)/(n!)}=0 。

【例題10】 a[n]={1+(1/n)}ⁿは収束することを示せ。

(Pf) nCk(1/n)^k={n(n-1)...(n-k+1)}/{k!(n^k)}
={1/(k!)}({n(n-1)...(n-k+1)}/(n・n・...・n))
={1/(k!)}Π[j=0→k-1]{1-(j/n)}(k≧1)より、
∀n≧2 , a[n]=Σ[k=0→n]{nCk(1/n)^k}
=2+Σ[k=2→n]({1/(k!)}Π[j=1→k-1]{1-(j/n)}) 。
∀n≧2 , a[n+1]-a[n]
=Σ[k=2→n+1]({1/(k!)}Π[j=1→k-1](1-{j/(n+1)}))-
Σ[k=2→n]({1/(k!)}Π[j=1→k-1]{1-(j/n)}) 
=Σ[k=2→n]{{1/(k!)}(Π[j=1→k-1](1-{j/(n+1)})-
Π[j=1→k-1]{1-(j/n)})}+
(1/{(n+1)!})Π[j=1→n](1-{j/(n+1)})
=Σ[k=2→n]{{1/(k!)}(Π[j=1→k-1]b[j]-
Π[j=1→k-1]c[j])}+(1/{(n+1)!})Π[j=1→n]b[j]
(b[j]=1-{j/(n+1)} , c[j]=1-(j/n))
1≦j≦n-1のとき、b[j]>c[j]>0なので
{1/(k!)}Π[j=1→k-1]b[j]>{1/(k!)}Π[j=1→k-1]c[j]
(2≦k≦n)。また、1≦j≦nのとき、b[j]>0なので
Π[j=1→n]b[j]>0。よって、∀n≧2 , a[n+1]-a[n]>0。
1≦j≦n-1のとき、0<c[j]<1なので
{1/(k!)}Π[j=1→k-1]c[j]<1/(k!) (2≦k≦n) 。
よって、∀n≧2 , a[n]=2+
Σ[k=2→n]{1/(k!)}Π[j=1→k-1]c[j]
<2+Σ[k=2→n]{1/(k!)}<2+Σ[k=2→n](1/{2^(k-1)})
=2+({(1/2){1-(1/2)^(n-1)}}/{1-(1/2)})
=3-(1/2)^(n-1)<3 。
a[1]=2<3より、∀n∈N , a[n]<3 。
これより、{a[n]}は上に有界な増加列なので収束する。

{a[n(k)]} (∀k,n(k)∈N , n(k)<n(k+1))
で表される数列を{a[n]}の部分列という。


(Thm11) lim[n→∞]a[n]=α ⇒ {a[n]}の任意の部分列
{a[n(k)]}について、lim[k→∞]a[n(k)]=α 。

(Pf) 仮定より、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , 
|a[n]-α|<ε 。{a[n]}の任意の部分列{a[n(k)]}をとると
lim[k→∞]n(k)=∞より、∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) ,
n(k)≧N(ε) 。このとき、|a[n(k)]-α|<ε 。
∴∀ε>0 , ∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) , |a[n(k)]-α|<ε

(Thm12) lim[n→∞]a[n]=∞ ⇒ {a[n]}の任意の部分列
{a[n(k)]}について、lim[k→∞]a[n(k)]=∞ 。

(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , 
a[n]>K 。{a[n]}の任意の部分列{a[n(k)]}をとると
lim[k→∞]n(k)=∞より、∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) ,
n(k)≧N(K) 。このとき、a[n(k)]>K 。
∴∀K>0 , ∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) , a[n(k)]>K

(Thm13) lim[n→∞]a[n]=-∞ ⇒ {a[n]}の任意の部分列
{a[n(k)]}について、lim[k→∞]a[n(k)]=-∞ 。

(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , 
a[n]<-K 。{a[n]}の任意の部分列{a[n(k)]}をとると
lim[k→∞]n(k)=∞より、∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) ,
n(k)≧N(K) 。このとき、a[n(k)]<-K 。
∴∀K>0 , ∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) , a[n(k)]<-K

ボルツァノ・ワイエルストラスの定理：
有界な数列は収束部分列を含む。

(Pf) {a[n]}を有界とし、p[1]≦a[n]≦q[1]とする。
I[1]=[P[1],q[1]]を中点で分け、{a[n]}の項を無限個
含む方をI[2]=[p[2],q[2]]とする。(両方とも含む場合は
どちらでも可) この操作を繰り返してI[n]=[p[n],q[n]]を
作るとI[1]⊃I[2]⊃・・・より、p[1]≦p[2]≦・・・
≦p[n]≦・・・≦q[n]≦・・・≦q[2]≦q[1] 。
p[n]は上に有界な増加列、q[n]は下に有界な減少列なので
ともに収束する。lim[n→∞]p[n]=α , lim[n→∞]q[n]=β
とおくと、q[n]-p[n]=(q[1]-p[1])/{2^(n-1)}より
lim[n→∞](q[n]-p[n])=0 。∴α=β
∀k∈N , I(k)は無限個の項を含むから∀k∈N , 
∃a[n(k)]∈I(k) s.t. n(1)<n(2)<・・・ 。
このとき、p[k]≦a[n(k)]≦q[k]なので
はさみうちの原理より、lin[k→∞]a[n(k)]=α 。

数列{a[n]}がコーシー列
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀m,n≧N(ε) , |a[m]-a[n]|<ε


コーシーの判定条件：
{a[n]}が収束する ⇔ {a[n]}がコーシー列

(Pf) {a[n]}が収束する
⇒ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
⇒ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀m,n≧N(ε) , 
|a[m]-a[n]|≦|a[m]-α|+|α-a[n]|<2ε
{a[n]}がコーシー列
⇒ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀m,n≧N(ε) , |a[m]-a[n]|<ε
⇒ ∃N(1)∈N , ∀n≧N(1) , |a[N(1)]-a[n]|<1
⇒ ∀n∈N , |a[n]|≦max{|a[1],a[2],・・・,
|a[N(1)-1]|,1+|a[n]|}
⇒ ∃{a[n(k)]} s.t. lim[k→∞]a[n(k)]=α
⇒ (∀ε>0 , ∃k1(ε)∈N , ∀k≧k1(ε) , 
|a[n(k)-α|<ε)∧(∃k2(ε)∈N ,
∀k≧k2(ε) , n(k)≧N(ε))
⇒ k(ε)=max{k1(ε),k2(ε)とおくと、
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|
≦|a[n]-a[n(k(ε))]|+|a[n(k(ε))]-α|<2ε 。

Σ[n=1→∞]a[n]=a[1]+a[2]+・・・を(無限)級数といい、
S[n]=Σ[k=1→n]a[k]を第n部分和という。
また、{S[n]}はΣ[n=1→∞]a[n]の部分和列と呼ばれる。
無限級数の収束、発散は次のように定義される。
(1) Σ[n=1→∞]a[n]が収束する ⇔ {S[n]}が収束する
(2) Σ[n=1→∞]a[n]が発散する ⇔ {S[n]}が発散する
(3) Σ[n=1→∞]a[n]=±∞ ⇔ lim[n→∞]{S[n]}=±∞


【例題10】 Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}
=a/(1-r) (|r|<1) , ±∞ (a≠0 , r=1)を示せ。

(Pf) r=0のときは考えなくて良い。(0^0は定義不可能)
[i] a≠0,r≠1のとき
Σ[k=1→n]{ar^(k-1)}={a(r^n-1)}/(r-1)より
lim[n→∞](r^n)について考える。
(1) 0<|r|<1のとき
(Thm10)より、0<|r|<1 ⇒ lim[n→∞](r^n)=0 。
∴lim[n→∞]Σ[k=1→n]{ar^(k-1)}=a/(1-r)
(2) r>1のとき
(Thm10)より、r>1 ⇒ lim[n→∞](r^n)=∞ 。
∴lim[n→∞]Σ[k=1→n]{ar^(k-1)}=∞
(3) r<-1のとき
a[n]=r^nはnの値が1増えるごとに符号が反転するため
{a[n]}は∞,-∞のいずれにも発散せず、
lim[n→∞](r^n)=α∈Rと仮定すると
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |r^n-α|<ε 。
このとき、α-ε<|r^n|<α+εとなるが
(Thm10)より、lim[n→∞]|r^n|=∞なので矛盾。
よって、r<-1のとき{a[n]}は振動し、
b[n]=Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}とおくと
{b[n]}も同様に振動する。
(4) r=-1のとき
a[n]=r^nはnの値が1増えるごとに符号が反転するため
{a[n]}は∞,-∞のいずれにも発散せず、
lim[n→∞](r^n)=α∈Rと仮定すると
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |(-1)^n-α|<ε 。
r=1をとると∃N(1)∈N , ∀n≧N(1) , |(-1)^n-α|<1 。
このとき、-1<(-1)^n-α<1 。 ∴-1+(-1)^n<α<1+(-1)^n
ここで、nが偶数のとき(-1)^n=1より、0<α<2となり
nが奇数のとき(-1)^n=-1より、-2<α<0となるが
極限の一意性に反するので{a[n]}は収束しない。
a[n]=-1(nは奇数),1(nは偶数)より、{a[n]}は
∞,-∞のいずれにも発散しないので{a[n]}は振動する。
b[n]=Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}とおくと
{b[n]}も同様に振動する。
[ii] a≠0,r=1のとき
(1) a>0のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=lim[n→∞](na)=∞ 。
(2) a<0のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=lim[n→∞](na)=-∞ 。
[iii] a=0のとき
(1) r≠1のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=0=a/(1-r) 。
(2) r=1のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=0 。
[i]～[iii]より、Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}
=a/(1-r) (|r|<1) , ±∞ (a≠0 , r=1) 。

コーシーの判定条件(級数)：
Σ[n=1→∞]a[n]が収束する
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀m>n>N(ε) ,
|a[n+1]+・・・+a[m]|<ε

(Pf) S[n]=Σ[k=1→n]a[k]とおく。
Σ[n=1→∞]a[n]が収束する
⇔ {S[n]}が収束する
⇔ {S[n]}がコーシー列
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,
∀m,n≧N(ε) , |S[m]-S[n]|<ε
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,
∀m>n≧N(ε) , |S[m]-S[n]|<ε
(∵ m=n≧N(ε) ⇒ |S[m]-S[n]|=0<ε ,
n>m≧N(ε) ⇒ |S[m]-S[n]|=|S[n]-S[m]|<ε)
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,
∀m>n≧N(ε) , |a[n+1]+・・・+a[m]|<ε

系1：Σ[n=1→∞]a[n]が収束する ⇒ lim[n→∞]a[n]=0

(Pf) Σ[n=1→∞]a[n]=S ,
S[n]=Σ[k=1→n]a[k]とおく。
Σ[n=1→∞]a[n]が収束する
⇒ Σ[n=1→∞]a[n+1]
=lim[n→∞](S[n+1]-S[n])=S-S=0
⇒ Σ[n=1→∞]a[n]=0

Σ[n=1→∞]a[n]は正項級数 ⇔ ∀n∈N , a[n]≧0


系2：正項級数Σ[n=1→∞]a[n]において
部分和列{S[n]}が上に有界ならば{S[n]}は収束し、
上に有界でないならば{S[n]}は∞に発散する。

(Pf) ∀n∈N , S[n+1]≧S[n]より、S[n]は増加列。
よって、(Thm6),(Thm8)より、{S[n]}が
上に有界ならば{S[n]}は収束し、{S[n]}が
上に有界でないならば{S[n]}は∞に発散する。

系3：正項級数Σ[n=1→∞]a[n]において部分和列
{S[n]}が収束しないならば{S[n]}は∞に発散する。

(Pf) 系2の対偶を考えれば良い。
{S[n]}が収束しない
⇒ {S[n]}は上に有界ではない
⇒ {S[n]}は∞に発散する

【例題11】 Σ[n=1→∞](1/n)=∞を示せ。

(Pf) S[n]=Σ[k=1→n]a[n]とおくと
∀n∈N , |S[2n]-S[n]|=S[2n]-S[n]
={1/(n+1)}+・・・+{1/(2n)}>{1/(2n)}・n=1/2より
{S[n]}は収束しないので、lim[n→∞]S[n]=∞ 。
よって、Σ[n=1→∞](1/n)=∞ 。

級数の性質：
Σ[n=1→∞]a[n],Σ[n=1→∞]b[n]が収束するならば
Σ[n=1→∞](a[n]±b[n]) , Σ[n=1→∞](ca[n])も収束し、
(1) Σ[n=1→∞](a[n]±b[n])
=Σ[n=1→∞]a[n]±Σ[n=1→∞]b[n]
(2) Σ[n=1→∞](ca[n])=cΣ[n=1→∞]a[n]
が成り立つ。また、S[n]=Σ[k=1→n]a[k]
で表される数列{S[n]}において、{a[n]}の
有限個の項を変えたり、取り除いたり、{a[n]}に
有限個の項を加えたりしても新たな数列における
収束、発散の状態は不変。(極限値は一般に不一致)

(Pf) (1),(2)は数列の極限の性質より明らか。
次に{a[n]}から有限個の項を取り除く場合を考える。
<1> {a[n]}から有限個の項を取り除くとき
取り除いて得られる新たな数列を{b[n]}とおき、
取り除いた項の最大の番号をn未満、取り除いた項の
和をAとすると、Σ[k=1→n]b[k]=S[n]-A 。
<2> {a[n]}に有限個の項を加えるとき
{a[n]}の第n項より前にM個の項を加えて
得られる数列を{b[n]}とおき、加えた項の
和をAとすると、Σ[k=1→n+M]b[k]=S[n]+A 。
よって、Σ[n=1→∞]b[n]の収束、発散の状態は
<1>,<2>のいずれであっても{S[n]}と変わらない。

α∈/Rとする。
αは{a[n]}の集積値
⇔ ∃{a[n(k)]} , lim[n→∞]a[n(k)]=α


(Thm14) α∈Rは{a[n]}の集積値
⇔ 任意のε>0に対して、|a[n]-α|<ε
を満たすn∈Nが無数に存在する。

(Pf) αは{a[n]}の集積値
⇔ ∃{a[n(k)]} , lim[k→∞]a[n(k)]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) , |a[n(k)]-α|<ε
⇔ ∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) s.t. |a[n]-α|<ε

(Thm15) E⊂/R , E≠Фとする。
∃{a[n]}(a[n]∈E ⇒ lim[n→∞]a[n]=supE)

(Pf) -∞<supE<∞のとき、α=supEとおくと
∃a[n]∈E s.t. α-(1/n)<a[n]≦α 。
はさみのうちの原理より、lim[n→∞]a[n]=α 。
supE=∞のとき、Eは上に有界ではないから
∃a[n]∈E s.t. a[n]>n 。
(Thm3)より、lim[n→∞]a[n]=∞ 。
supE=-∞のとき、E={-∞}より、lim[n→∞]a[n]=-∞ 。

(Thm16) E⊂/R , E≠Фとする。
∃{a[n]}(a[n]∈E ⇒ lim[n→∞]a[n]=infE)

(Pf) -∞<infE<∞のとき、α=infEとおくと
∃a[n]∈E s.t. α≦a[n]<α+(1/n) 。
はさみのうちの原理より、lim[n→∞]a[n]=α 。
infE=∞のとき、E={∞}より、lim[n→∞]a[n]=∞ 。
infE=-∞のとき、Eは下に有界ではないから
∃a[n]∈E s.t. a[n]<-n 。
(Thm4)より、lim[n→∞]a[n]=-∞ 。

(Thm17) {a[n]}の集積値の集合をA∈Rとする。
(α[m]∈A)∧(lim[m→∞]α[m]=α) ⇒ α∈A

(Pf) α[m]∈Aより、(Thm14)から
∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) s.t. |a[n]-α[m]|<ε 。
lim[m→∞]α[m]=αより、∀ε>0 , 
∃N(ε)∈N , ∀m≧N(ε) , |α[m]-α|<ε 。
これより、∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) , ∃N(ε)∈N ,　∀m≧N(ε) ,
|a[n]-α|≦|a[n]-α[m]|+|α[m]-α|<2ε 。
∴∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) , |a[n]-α|
≦|a[n]-α[N(ε)]|+|α[N(ε)]-α|<2ε 。
よって、(Thm14)より、α∈A 。

系4：{a[n]}は有界 ⇒ {a[n]}の集積値の
集合E∈Rは最大値、最小値をもつ。

(Pf) 最大値の存在：
ボルツァーノ・ワイエルストラスの定理より
有界な数列は収束部分列を含むから
部分列を{a[n(k)}とおくと、∃α[m]∈R , ∀ε>0 ,
∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) , |a[n(k)]-α[m]|<ε 。
{a[n]}は有界なので、∃A≦B , ∀n∈N ,
A≦a[n]≦Bが成り立つ。ここで、α[m]≧C>Bと
おくとε=C-Bで不適となり、α[m]≦D<Aとおいても
ε=A-Dで不適となるので、A≦α[m]≦B 。
これより、{a[n]}が有界ならばE∈Rも有界で
Eは上限をもつ。α[m]∈Eなので、(Thm16)より
∃{α[m]} , lim[m→∞]α[m]=supE 。
(Thm15)より、supE∈Eとなり、Eは最大値をもつ。
最小値の存在：
{a[n]}が有界ならばE∈Rも有界でEは下限をもつ。
α[m]∈Eなので、(Thm17)より、∃{α[m]} ,
lim[m→∞]α[m]=infE 。(Thm15)より
infE∈Eとなり、Eは最小値をもつ。

{a[n]}の集積値のうち、最大のものと最小のものを
求めたい。数列の極限の性質(v)より、{a[n]}の
最初の有限個の項を取り除いても集積値には影響を
与えないので、a[n]以降の項だけで考えて良い。
b[n]=sup{a[k]|k≧n}∈/R ,
c[n]=inf{a[k]|k≧n}∈/R
とおくと、∀k≧n , c[n]≦a[k]≦b[n] 。
A⊂B ⇒ infB≦infA≦supA≦supB なので
{b[n]}は単調減少で{c[n]}は単調増加。
(Thm6)～(Thm9)より次のことが言える。

lim[n→∞]b[n]=+∞ (∀n∈N , b[n]=+∞)
lim[n→∞]b[n]=α ({b[n]}は下に有界)
lim[n→∞]b[n]=-∞ ({b[n]}は下に有界ではない)

lim[n→∞]c[n]=+∞ ({c[n]}は上に有界ではない)
lim[n→∞]c[n]=α ({c[n]}は上に有界)
lim[n→∞]c[n]=-∞ (∀n∈N , b[n]=-∞)

これらの極限は±∞の場合も含め、存在するとみなす。

limsup[n→∞]a[n]=lim[n→∞]sup{a[k]|k≧n}
を{a[n]}の上極限といい、(/lim)[n→∞]a[n]とも表す。
liminf[n→∞]a[n]=lim[n→∞]inf{a[k]|k≧n}
を{a[n]}の上極限といい、(lim/)[n→∞]a[n]とも表す。


(Thm15) limsup[n→∞]a[n]は
{a[n]}の最大の集積値であり、
liminf[n→∞]a[n]は
{a[n]}の最小の集積値である。

(Pf) b[n]=sup{a[k]|k≧n} , 
c[n]=inf{a[k]|k≧n}とおく。
(1) limsup[n→∞]a[n]が{a[n]}の
最大の集積値になることを示す。
[1] limsup[n→∞]a[n]=lim[n→∞]b[n]=βとおく。
β=∞のとき、βは最大の集積値である。
β=-∞のとき、∀n∈N , a[n]≦b[n]により