<a href="https://drrr.swiki.jp/index.php?cmd=related&page=%E3%83%87%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%81%E3%83%A3%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%B0%E5%AD%A6">デュラチャ大学数学</a> のバックアップ差分(No.7)
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デュラチャ大学数学 のバックアップ差分(No.7)
テスト勉強用に作成中． &br; 関数の極限の定義： *実数 [#q84a08bc] &br; a,b∈Rに対して、a+b,a-b,ab,b/a(a≠0)がRの中に存在し、 和、積に関して交換律、結合律、分配律が成り立つ。 &br; *関数の極限の定義 [#y47ec42f] &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=A}; &color(red){⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε}; &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=∞}; &color(red){⇔∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)>K}; &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=-∞}; &color(red){⇔∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)<-K}; &br; 【例題1】 lim[x→1](2x+1)=3を示せ。 解説：f(x)=2x+1とする。任意のε>0に対して |f(x)-3|=2|x-1|<ε ⇔ |x-1|<ε/2より 上記の定義においてδ(ε)=ε/2とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x0|<δ(ε) , |f(x)-3|<ε。 &br; 【例題2】 lim[x→0]√|x|=0を示せ。 解説：f(x)=√|x|とする。任意のε>0に対して |f(x)-0|=√|x|<ε ⇔ |x|<ε²より 上記の定義においてδ(ε)=ε²とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-0|<δ(ε) , |f(x)-0|<ε。 &br; 【例題3】 lim[x→0](1/|x|)=∞を示せ。 解説：f(x)=1/|x|とする。任意のK>0に対して f(x)>K ⇔ |x|<1/Kであるから 上記の定義においてδ(K)=1/Kとおけば ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f) s.t. |x-0|<δ(K) , f(x)>K。 &br; 定理1： &color(red){lim[x→x0]f(x)=A ⇔ ∀{x[n]} s.t.}; &color(red){lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) , lim[n→∞]f(x[n])=A}; &br; 定理1の証明： 【必要性】 lim[x→x₀]f(x)=A ⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε。 また、lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) ⇔ ∀δ(ε)>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀n≧N(δ(ε)) , 0<|x[n]-x₀|<δ(ε)より ∀ε>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀x[n]∈D(f) s.t. n≧N(δ(ε)) , |f(x[n])-A|<ε。 &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; |
