デュラチャ大学数学 のバックアップ(No.21)
実数
(Pf) x≧0 ⇒ -x≦0≦x ⇒ |x|=max{x,-x}=x x<0 ⇒ x<0<-x ⇒ |x|=max{x,-x}=-x ※|x|=-x(x≦0)も当然成り立つ。 (Pf) x≧0 ⇒ |x|=x≧x x<0 ⇒ |x|=-x>0>x ∴|x|≧x x≧0 ⇒ |x|=x≧0≧-x x<0 ⇒ |x|=-x≧-x ∴|x|≧-x
(Pf) |x|=max{x,-x}=max{-x,x} =max{-x,-(-x)}=|-x|
(Pf) x≧0,y≧0 ⇒ |xy|=xy=|x||y| x≧0,y<0 ⇒ |xy|=-xy=x(-y)=|x||y| x<0,y≧0 ⇒ |xy|=-xy=(-x)y=|x||y| x<0,y<0 ⇒ |xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|
(Pf) x>0,y≧0 ⇒ |y/x|=y/x=|y|/|x| x>0,y<0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=(-y)/x=|y|/|x| x<0,y≧0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=y/(-x)=|y|/|x| x<0,y<0 ⇒ |y/x|=y/x=(-y)/(-x)=|y|/|x|
(Pf) x≧0 ⇒ |x|=x ⇒ |x|²=x² x<0 ⇒ |x|=-x ⇒ |x|²=(-x)²=x²
(Pf) |x±y|²-||x|-|y||²=(x±y)²-(|x|-|y|)² =x²±2xy+y²-(x²-2|xy|+y²)=2(|xy|±xy)≧0 ∴||x|-|y||≦|x±y| (∵|x±y|≧0,||x|-|y||≧0) (|x|+|y|)²-|x±y|²=(|x|+|y|)²-(x±y)² =x²+2|xy|+y²-(x²±2xy+y²)=2(|xy|∓xy)≧0 ∴|x±y|≦|x|+|y| (∵|x|+|y|≧0,|x±y|≧0) ※A²-B²≧0(A≧0,B≧0)⇒A≧B (Pf) |x|≦a(x≧0) ⇒ -a≦0≦x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a |x|≦a(x<0) ⇒ -a≦0≦-x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a ∴|x|≦a ⇒ -a≦x≦a -a≦x≦a(x≧0) ⇒ |x|=x≦a -a≦x≦a(x<0) ⇒ -a≦-x≦a ⇒ |x|=-x≦a ∴-a≦x≦a ⇒ |x|≦a
(Pf) |x|≧a(x≧0) ⇒ |x|=x≧a |x|≧a(x<0) ⇒ |x|=-x≧a ⇒ x≦-a ∴|x|≧a ⇒ x≦-a,a≦x a≦x ⇒ |x|=x≧a x≦-a ⇒ |x|=-x≧a ∴x≦-a,a≦x ⇒ |x|≧a
(Pf) |x-α|≦β ⇔ -β≦x-α≦β ⇔ α-β≦x≦α+β
(Pf) 「∃n∈N s.t. na>b」ではない ⇔ 「∃n∈N[na>b]」ではない ⇔ ∀n∈N[na>bではない] ⇔ ∀n∈N[na≦b] ⇔ ∀n∈N , na≦b ※s.t.はsuch thatの略で (Pf) y=x+1をとればy∈Rでx<y。 y=x-1をとればy∈Rでx>y。
(Pf) (1) ∀x∈R , ∀y∈R , P(x,y) ⇔ ∀x∈R [∀y∈R , P(x,y)] ⇔ ∀y∈R , P(X,y) (∀X∈R) ⇔ P(X,Y) (∀X,Y∈R) ⇔ ∀x∈R , P(x,Y) (∀Y∈R) ⇔ ∀y∈R [∀x∈R , P(x,y)] ⇔ ∀y∈R , ∀x∈R , P(x,y) (2) ∃x∈R , ∃y∈R , P(x,y) ⇔ ∃x∈R [∃y∈R , P(x,y)] ⇔ ∃y∈R , P(X,y) (∃X∈R) ⇔ P(X,Y) (∃X,Y∈R) ⇔ ∃x∈R , P(x,Y) (∃y∈R) ⇔ ∃y∈R [∃x∈R , P(x,y)] ⇔ ∃y∈R , ∃y∈R , P(x,y) (3) ∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y) ⇒ ∃x∈R [∀y∈R , P(x,y)] ⇒ ∀y∈R , P(X,y) (∃X∈R) ⇒ ∀y∈R , [P(X,y) (∃X∈R)] ⇒ ∀y∈R [∃x∈R , P(x,y)] ⇒ ∀y∈R , ∃x∈R , P(x,y) 逆が成り立たない例はP(x,y)=(x>y)。
(∪[n=1→N]An)[c] ={x|x∉(∪[n=1→N]An)} ={x|x∈A1又はx∈A2又は ・・・又はx∈Anではない} ={x|x∉A1かつx∉A2かつ ・・・かつx∉An} =∩[n=1→N](An[c]) ※A[c](Aのc乗のような書き方)をAの補集合という。 (Pf) E⊂R , E≠Фとし、 α=maxE , β=maxE , α≠βと仮定。 [i] α<βのとき β∈Eより、α=maxEに反する。 [ii] β<αのとき α∈Eより、β=maxEに反する。 [i],[ii]より、α=βである。
(Pf) M=max(0,1)となる Mが存在すると仮定すると、 (i) ∀x∈(0,1) , x≦M , (ii) M∈(0,1) が成り立つ。0<M<(M+1)/2<1より (M+1)/2∈(0,1)であり、∃x∈(0,1) s.t. M<x。 これは(i)に反するからmax(0,1)は存在しない。
自然数に最大値Mが存在すると仮定すると (i) ∀x∈N , x≦M (ii) M∈N が成り立つ。M<M+1∈Nより、(i)は不適。 よって、自然数に最大値は存在しない。 自然数に最小値mが存在すると仮定すると (iii) ∀x∈N , m≦x (iv) m∈N が成り立つ。m=1のとき、(iii),(iv)を 同時に満たすので自然数の最小値は1。
(Pf) α=supE ⇔ α=minU(E) ⇔ (i) α∈U(E) (ii) β∈U(E) ⇒ α≦β ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) β<α ⇒ β∉U(E) ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) β<α ⇒ ∃x∈E s.t. β<x ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x
(Pf) α=infE ⇔ α=maxU(E) ⇔ (i) α∈U(E) (ii) β∈U(E) ⇒ β≦α ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) α<β ⇒ β∉U(E) ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) α<β ⇒ ∃x∈E s.t. x<β ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε
(Pf) α=supE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x ⇔ (i) ∀(-x)∈(-E) , -x≧-α (ii) ∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -α+ε>-x ⇔ (i) ∀(-x)∈(-E) , -α≦-x (ii) ∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -x<-α+ε ⇔ -α=inf(-E) ⇔ α=-inf(-E) ※これより、infE=-sup(-E)も成り立つ。 (Pf) Nが上に有界であると仮定すると、実数の連続性より α=supNが存在する。あるm∈Nをとると α-1<m ... (i) m+1∈Nより、m+1≦α ... (ii) (i),(ii)は矛盾するのでNは上に有界ではない。
(Pf) ∀a,b>0 , ∀n∈N , na≦bと仮定すると、 E={na|a>0,n∈N}は 上に有界であるから実数の連続性より α=supEが存在し、あるn0∈Nをとると α-a<n0a ... (i) (n0+1)a∈Eより、(n0+1)a≦α ... (ii) (i),(ii)は矛盾するので仮定は誤りである。 関数の極限の定義
解説:f(x)=2x+1とする。任意のε>0に対して |f(x)-3|=2|x-1|<ε ⇔ |x-1|<ε/2より 上記の定義においてδ(ε)=ε/2とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x0|<δ(ε) , |f(x)-3|<ε。
解説:f(x)=√|x|とする。任意のε>0に対して |f(x)-0|=√|x|<ε ⇔ |x|<ε²より 上記の定義においてδ(ε)=ε²とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-0|<δ(ε) , |f(x)-0|<ε。
解説:f(x)=1/|x|とする。任意のK>0に対して f(x)>K ⇔ |x|<1/Kであるから 上記の定義においてδ(K)=1/Kとおけば ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f) s.t. |x-0|<δ(K) , f(x)>K。
|