デュラチャ大学数学のバックアップ(No.19)

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実数

(A) 四則演算
a,b∈Rに対して、a+b,a-b,ab,b/a(a≠0)が
Rの中に存在し、和、積に関して
交換律、結合律、分配律が成り立つ。

(B) 大小関係
a,b∈Rに対して、a=b,a<b,b<aの
いずれかが成り立ち、次の性質を満たす。
(1) a<b かつ b<c ⇒ a<c
(2) a<b ⇒ ∀c∈R , a+c<b+c
(3) a<b ⇒ ∀c>0 , ac<bc
※⇒は必ずしも逆が成り立たないことを
意味するわけではないので注意。
(2),(3)においては⇔でも良いが
伝えたい性質は⇒の方である。

(C) 絶対値
|x|=max{x,-x}と定義する。

x,y∈RのときThm1～Thm7が成り立つ。

Thm1：|x|=x(x≧0),-x(x<0)

(Pf) x≧0 ⇒ -x≦0≦x ⇒ |x|=max{x,-x}=x
x<0 ⇒ x<0<-x ⇒ |x|=max{x,-x}=-x

※|x|=-x(x≦0)も当然成り立つ。

Thm2：|x|≧x,|x|≧-x

(Pf) x≧0 ⇒ |x|=x≧x
x<0 ⇒ |x|=-x>0>x
∴|x|≧x
x≧0 ⇒ |x|=x≧0≧-x
x<0 ⇒ |x|=-x≧-x
∴|x|≧-x

Thm3：|x|=|-x|

(Pf) |x|=max{x,-x}=max{-x,x}
=max{-x,-(-x)}=|-x|

Thm4：|xy|=|x||y|

(Pf) x≧0,y≧0 ⇒ |xy|=xy=|x||y|
x≧0,y<0 ⇒ |xy|=-xy=x(-y)=|x||y|
x<0,y≧0 ⇒ |xy|=-xy=(-x)y=|x||y|
x<0,y<0 ⇒ |xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|

Thm5：|y/x|=|y|/|x|(x≠0)

(Pf) x>0,y≧0 ⇒ |y/x|=y/x=|y|/|x|
x>0,y<0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=(-y)/x=|y|/|x|
x<0,y≧0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=y/(-x)=|y|/|x|
x<0,y<0 ⇒ |y/x|=y/x=(-y)/(-x)=|y|/|x|

Thm6：|x|²=x²

(Pf) x≧0 ⇒ |x|=x ⇒ |x|²=x²
x<0 ⇒ |x|=-x ⇒ |x|²=(-x)²=x²

Thm7：||x|-|y||≦|x±y|≦|x|+|y|

(Pf) |x±y|²-||x|-|y||²=(x±y)²-(|x|-|y|)²
=x²±2xy+y²-(x²-2|xy|+y²)=2(|xy|±xy)≧0
∴||x|-|y||≦|x±y| (∵|x±y|≧0,||x|-|y||≧0)
(|x|+|y|)²-|x±y|²=(|x|+|y|)²-(x±y)²
=x²+2|xy|+y²-(x²±2xy+y²)=2(|xy|∓xy)≧0
∴|x±y|≦|x|+|y| (∵|x|+|y|≧0,|x±y|≧0)

※A²-B²≧0(A≧0,B≧0)⇒A≧B
(Pf) A²-B²≧0(A>0,B≧0)
⇒ (A+B)(A-B)≧0(A+B>0)
⇒ A-B≧0 ⇒ A≧B
A=B=0のときは明らかに成立。

Thm9ではa≧0とする。(Thm8では直ちに成立)

Thm8：|x|≦a ⇔ -a≦x≦a

(Pf) |x|≦a(x≧0) ⇒ -a≦0≦x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a
|x|≦a(x<0) ⇒ -a≦0≦-x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a
∴|x|≦a ⇒ -a≦x≦a
-a≦x≦a(x≧0) ⇒ |x|=x≦a
-a≦x≦a(x<0) ⇒ -a≦-x≦a ⇒ |x|=-x≦a 
∴-a≦x≦a ⇒ |x|≦a

Thm9：|x|≧a ⇔ x≦-a,a≦x

(Pf) |x|≧a(x≧0) ⇒ |x|=x≧a
|x|≧a(x<0) ⇒ |x|=-x≧a ⇒ x≦-a
∴|x|≧a ⇒ x≦-a,a≦x
a≦x ⇒ |x|=x≧a
x≦-a ⇒ |x|=-x≧a
∴x≦-a,a≦x ⇒ |x|≧a

Thm10：|x-α|≦β ⇔ α-β≦x≦α+β

(Pf) |x-α|≦β ⇔ -β≦x-α≦β ⇔ α-β≦x≦α+β

(D) 集合と命題
∀(任意の),∃(ある、存在する)という記号がある。

【例題1】「∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b」ではない
⇔ ∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦bを示せ。

(Pf) 「∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b」ではない
⇔∀a,b>0[∃n∈N s.t. na>b]ではない
⇔∀a,b>0[∃n∈N[na>b]]ではない
⇔∃a,b>0[∃n∈N[na>b]ではない]
⇔∃a,b>0[∀n∈N[na>bではない]]
⇔∃a,b>0[∀n∈N[na≦b]]
⇔∃a,b>0[∀n∈N , na≦b]
⇔∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b

※s.t.はsuch thatの略で
「〜であるような」などと読む。

【例題2】 ∀x∈R , ∃y∈R , x<yは真、
∃x∈R , ∀y∈R , x<yは偽であることを示せ。

(Pf) y=x+1をとればy∈Rでx<y。
y=x-1をとればy∈Rでx>y。

【例題3】 (∪[n=1→N]An)[c]
=∩[n=1→N](An[c])を示せ。

(∪[n=1→N]An)[c]
={x|x∉(∪[n=1→N]An)} 
={x|x∈A1又はx∈A2又は
・・・又はx∈Anではない} 
={x|x∉A1かつx∉A2かつ 
・・・かつx∉An} 
=∩[n=1→N](An[c])

※A[c](Aのc乗のような書き方)をAの補集合という。
同様に(∩[n=1→N]An)[c] =∪[n=1→N](An[c])

(E) 最大値と最小値
E∈R , E≠Фのとき
M=maxE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦M (ii) M∈E
m=minE ⇔ (i) ∀x∈E , m≦x (ii) m∈E
と定義する。∀はfor allの略。「任意の」などと読む。
∃はthere existsの略。「ある」、「存在する」など。

Thm11：最大値は存在すれば唯1つである。

(Pf) E⊂R , E≠Фとし、
α=maxE , β=maxE , α≠βと仮定。
[i] α<βのとき
β∈Eより、α=maxEに反する。
[ii] β<αのとき
α∈Eより、β=maxEに反する。
[i],[ii]より、α=βである。

【例題4】 max(0,1)は存在しないことを示せ。

(Pf) M=max(0,1)となる
Mが存在すると仮定すると、
(i) ∀x∈(0,1) , x≦M , (ii) M∈(0,1)
が成り立つ。0<M<(M+1)/2<1より
(M+1)/2∈(0,1)であり、∃x∈(0,1) s.t. M<x。
これは(i)に反するからmax(0,1)は存在しない。

【例題5】自然数に最大値、最小値があれば求めよ。
ただし、0は自然数に含めないこととする。

自然数に最大値Mが存在すると仮定すると
(i) ∀x∈N , x≦M (ii) M∈N
が成り立つ。M<M+1∈Nより、(i)は不適。
よって、自然数に最大値は存在しない。
自然数に最小値mが存在すると仮定すると
(iii) ∀x∈N , m≦x (iv) m∈N
が成り立つ。m=1のとき、(iii),(iv)を
同時に満たすので自然数の最小値は1。

E∈R , E≠Фのとき
Eは上に有界 ⇔ ∃α∈R s.t. ∀x∈E , x≦α
Eは下に有界 ⇔ ∃β∈R s.t. ∀x∈E , β≦x
U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a} ⇔ supE=minU(E)
U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x} ⇔ infE=maxU(E)
と定義する。supEをEの上限、infEをEの下限という。

Thm11：E⊂R , E≠Ф ,
U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a}のとき
α=supE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α
(ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x が成り立つ。

(Pf) α=supE ⇔ α=minU(E)
⇔ (i) α∈U(E) (ii) β∈U(E) ⇒ α≦β
⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) β<α ⇒ β∉U(E)
⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) β<α ⇒ ∃x∈E s.t. β<x
⇔ (i) ∀x∈E , x≦α
(ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x

Thm12：E⊂R , E≠Ф ,
U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x}のとき
α=infE ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x
(ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε が成り立つ。

(Pf) α=infE ⇔ α=maxU(E)
⇔ (i) α∈U(E) (ii) β∈U(E) ⇒ β≦α
⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) α<β ⇒ β∉U(E)
⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) α<β ⇒ ∃x∈E s.t. x<β
⇔ (i) ∀x∈E , α≦x
(ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε

Thm13：E⊂R , E≠Ф ,
Eは上に有界のときsupE=-inf(-E)。

(Pf) α=supE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α
(ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x
⇔ (i) ∀(-x)∈(-E) , -x≧-α
(ii) ∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -α+ε>-x
⇔ (i) ∀(-x)∈(-E) , -α≦-x
(ii) ∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -x<-α+ε
⇔ -α=inf(-E)
⇔ α=-inf(-E)

※これより、infE=-sup(-E)も成り立つ。

実数の連続性の公理：上に有界な集合は
上限を持ち、下に有界な集合は下限を持つ。

アルキメデスの原理1：Nは上に有界ではない.

(Pf) Nが上に有界であると仮定すると、実数の連続性より
α=supNが存在する。あるm∈Nをとると
α-1<m ... (i)
m+1∈Nより、m+1≦α ... (ii)
(i),(ii)は矛盾するのでNは上に有界ではない。

アルキメデスの原理2：∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b

(Pf) ∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b
と仮定すると、E={na|a>0,n∈N}は
上に有界であるから実数の連続性より
α=supEが存在し、あるn0∈Nをとると
α-a<n0a ... (i)
(n0+1)a∈Eより、(n0+1)a≦α ... (ii)
(i),(ii)は矛盾するので仮定は誤りである。

▲ ▼

関数の極限の定義

lim[x→x₀]f(x)=A
⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε

lim[x→x₀]f(x)=∞
⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)>K

lim[x→x₀]f(x)=-∞
⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)<-K

【例題1】 lim[x→1](2x+1)=3を示せ。

解説：f(x)=2x+1とする。任意のε>0に対して 
|f(x)-3|=2|x-1|<ε ⇔ |x-1|<ε/2より
上記の定義においてδ(ε)=ε/2とおけば
∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) 
s.t. 0<|x-x0|<δ(ε) , |f(x)-3|<ε。

【例題2】 lim[x→0]√|x|=0を示せ。

解説：f(x)=√|x|とする。任意のε>0に対して
|f(x)-0|=√|x|<ε ⇔ |x|<ε²より
上記の定義においてδ(ε)=ε²とおけば
∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-0|<δ(ε) , |f(x)-0|<ε。

【例題3】 lim[x→0](1/|x|)=∞を示せ。

解説：f(x)=1/|x|とする。任意のK>0に対して
f(x)>K ⇔ |x|<1/Kであるから
上記の定義においてδ(K)=1/Kとおけば
∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. |x-0|<δ(K) , f(x)>K。

定理1：
lim[x→x0]f(x)=A ⇔ ∀{x[n]} s.t.
lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) , lim[n→∞]f(x[n])=A

定理1の証明：
【必要性】
lim[x→x₀]f(x)=A
⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε。
また、lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀)
⇔ ∀δ(ε)>0 , ∃N(δ(ε))∈N ,
∀n≧N(δ(ε)) , 0<|x[n]-x₀|<δ(ε)より
∀ε>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀x[n]∈D(f)
s.t. n≧N(δ(ε)) , |f(x[n])-A|<ε。

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実数

関数の極限の定義

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