デュラチャ大学数学 のバックアップソース(No.14) 
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*実数 [#q84a08bc]
&br;
(A) 四則演算
a,b∈Rに対して、a+b,a-b,ab,b/a(a≠0)が
Rの中に存在し、和、積に関して
交換律、結合律、分配律が成り立つ。
&br;
(B) 大小関係
a,b∈Rに対して、a=b,a<b,b<aの
いずれかが成り立ち、次の性質を満たす。
(1) a<b かつ b<c ⇒ a<c
(2) a<b ⇒ ∀c∈R , a+c<b+c
(3) a<b ⇒ ∀c>0 , ac<bc
※⇒は必ずしも逆が成り立たないことを
意味するわけではないので注意。
(2),(3)においては⇔でも良いが
伝えたい性質は⇒の方である。
&br;
(C) 絶対値
&color(red){|x|=max{x,-x}};
&br;
x,y∈RのときThm1～Thm7が成り立つ。
&br;
Thm1：|x|=x(x≧0),-x(x<0)
 (Pf) x≧0 ⇒ -x≦0≦x ⇒ |x|=max{x,-x}=x
 x<0 ⇒ x<0<-x ⇒ |x|=max{x,-x}=-x
※|x|=-x(x≦0)も当然成り立つ。
&br;
Thm2：|x|≧x,|x|≧-x
 (Pf) x≧0 ⇒ |x|=x≧x
 x<0 ⇒ |x|=-x>0>x
 ∴|x|≧x
 x≧0 ⇒ |x|=x≧0≧-x
 x<0 ⇒ |x|=-x≧-x
 ∴|x|≧-x
&br;
Thm3：|x|=|-x|
 (Pf) |x|=max{x,-x}=max{-x,x}
 =max{-x,-(-x)}=|-x|
&br;
Thm4：|xy|=|x||y|
 (Pf) x≧0,y≧0 ⇒ |xy|=xy=|x||y|
 x≧0,y<0 ⇒ |xy|=-xy=x(-y)=|x||y|
 x<0,y≧0 ⇒ |xy|=-xy=(-x)y=|x||y|
 x<0,y<0 ⇒ |xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|
&br;
Thm5：|y/x|=|y|/|x|(x≠0)
 (Pf) x>0,y≧0 ⇒ |y/x|=y/x=|y|/|x|
 x>0,y<0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=(-y)/x=|y|/|x|
 x<0,y≧0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=y/(-x)=|y|/|x|
 x<0,y<0 ⇒ |y/x|=y/x=(-y)/(-x)=|y|/|x|
&br;
Thm6：|x|²=x²
 (Pf) x≧0 ⇒ |x|=x ⇒ |x|²=x²
 x<0 ⇒ |x|=-x ⇒ |x|²=(-x)²=x²
&br;
Thm7：||x|-|y||≦|x±y|≦|x|+|y|
 (Pf) |x±y|²-||x|-|y||²=(x±y)²-(|x|-|y|)²
 =x²±2xy+y²-(x²-2|xy|+y²)=2(|xy|±xy)≧0
 ∴||x|-|y||≦|x±y| (∵|x±y|≧0,||x|-|y||≧0)
 (|x|+|y|)²-|x±y|²=(|x|+|y|)²-(x±y)²
 =x²+2|xy|+y²-(x²±2xy+y²)=2(|xy|∓xy)≧0
 ∴|x±y|≦|x|+|y| (∵|x|+|y|≧0,|x±y|≧0)
※A²-B²≧0(A≧0,B≧0)⇒A≧B
(Pf) A²-B²≧0(A>0,B≧0)
⇒ (A+B)(A-B)≧0(A+B>0)
⇒ A-B≧0 ⇒ A≧B
A=B=0のときは明らかに成立。
&br;
Thm9ではa≧0とする。(Thm8では直ちに成立)
&br;
Thm8：|x|≦a ⇔ -a≦x≦a
 (Pf) |x|≦a(x≧0) ⇒ -a≦0≦x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a
 |x|≦a(x<0) ⇒ -a≦0≦-x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a
 ∴|x|≦a ⇒ -a≦x≦a
 -a≦x≦a(x≧0) ⇒ |x|=x≦a
 -a≦x≦a(x<0) ⇒ -a≦-x≦a ⇒ |x|=-x≦a 
 ∴-a≦x≦a ⇒ |x|≦a
&br;
Thm9：|x|≧a ⇔ x≦-a,a≦x
 (Pf) |x|≧a(x≧0) ⇒ |x|=x≧a
 |x|≧a(x<0) ⇒ |x|=-x≧a ⇒ x≦-a
 ∴|x|≧a ⇒ x≦-a,a≦x
 a≦x ⇒ |x|=x≧a
 x≦-a ⇒ |x|=-x≧a
 ∴x≦-a,a≦x ⇒ |x|≧a
&br;
Thm10：|x-α|≦β ⇔ α-β≦x≦α+β
 (Pf) |x-α|≦β ⇔ -β≦x-α≦β ⇔ α-β≦x≦α+β
&br;
(D) 最大値と最小値
E∈R , E≠Фとすると
&color(red){M=maxE};
&color(red){⇔ (i) ∀x∈E , x≦M (ii) M∈E};
&color(red){m=minE};
&color(red){⇔ (i) ∀x∈E , m≦x (ii) m∈E};
※∀はfor allの略。「任意の」などと読む。
∃はthere existsの略。「ある」「存在する」など。
&br;
Thm11：最大値は存在すれば唯1つである。
 (Pf) E⊂R , E≠Фとし、
 α=maxE , β=maxE , α≠βと仮定。
 [i] α<βのとき
 β∈Eより、α=maxEに反する。
 [ii] β<αのとき
 α∈Eより、β=maxEに反する。
 [i],[ii]より、α=βである。
&br;
【例題1】 max(0,1)は存在しないことを示せ。
 (Pf) M=max(0,1)となる
 Mが存在すると仮定すると、
 (i) ∀x∈(0,1) , x≦M , (ii) M∈(0,1)
 が成り立つ。0<M<(M+1)/2<1より
 (M+1)/2∈(0,1)であり、∃x∈(0,1) s.t. M<x。
 これは(i)に反するからmax(0,1)は存在しない。
&br;
【例題2】 自然数に最大値、最小値があれば求めよ。
ただし、0は自然数に含めないこととする。
 自然数に最大値Mが存在すると仮定すると
 (i) ∀x∈N , x≦M (ii) M∈N
 が成り立つ。M<M+1∈Nより、(i)は不適。
 よって、自然数に最大値は存在しない。
 自然数に最小値mが存在すると仮定すると
 (iii) ∀x∈N , m≦x (iv) m∈N
 が成り立つ。m=1のとき、(iii),(iv)を
 同時に満たすので自然数の最小値は1。
&br;
*関数の極限の定義 [#y47ec42f]
&br;
&color(red){lim[x→x₀]f(x)=A};
&color(red){⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)};
&color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε};
&br;
&color(red){lim[x→x₀]f(x)=∞};
&color(red){⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)};
&color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)>K};
&br;
&color(red){lim[x→x₀]f(x)=-∞};
&color(red){⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)};
&color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)<-K};
&br;
【例題1】 lim[x→1](2x+1)=3を示せ。
 解説：f(x)=2x+1とする。任意のε>0に対して 
 |f(x)-3|=2|x-1|<ε ⇔ |x-1|<ε/2より
 上記の定義においてδ(ε)=ε/2とおけば
 ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) 
 s.t. 0<|x-x0|<δ(ε) , |f(x)-3|<ε。
&br;
【例題2】 lim[x→0]√|x|=0を示せ。
 解説：f(x)=√|x|とする。任意のε>0に対して
 |f(x)-0|=√|x|<ε ⇔ |x|<ε²より
 上記の定義においてδ(ε)=ε²とおけば
 ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
 s.t. 0<|x-0|<δ(ε) , |f(x)-0|<ε。
&br;
【例題3】 lim[x→0](1/|x|)=∞を示せ。
 解説：f(x)=1/|x|とする。任意のK>0に対して
 f(x)>K ⇔ |x|<1/Kであるから
 上記の定義においてδ(K)=1/Kとおけば
 ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)
 s.t. |x-0|<δ(K) , f(x)>K。
&br;
定理1： 
&color(red){lim[x→x0]f(x)=A ⇔ ∀{x[n]} s.t.};
&color(red){lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) , lim[n→∞]f(x[n])=A};
&br;
定理1の証明：
【必要性】
lim[x→x₀]f(x)=A 
⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)
s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε。
また、lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀)
⇔ ∀δ(ε)>0 , ∃N(δ(ε))∈N , 
∀n≧N(δ(ε)) , 0<|x[n]-x₀|<δ(ε)より
∀ε>0 , ∃N(δ(ε))∈N ,  ∀x[n]∈D(f)
s.t. n≧N(δ(ε)) , |f(x[n])-A|<ε。
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