デュラチャ大学数学 のバックアップソース(No.1) 
(∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y)は真)
ではない
=∃x∈R [∀y∈R , P(x,y)は真]
ではない
=∀x∈R [[∀y∈R , P(x,y)は真]
ではない]
=∀x∈R [∃y∈R , P(x,y)は偽]
=∀x∈R , ∃y∈R , P(x,y)は偽
同様にして
(∀x∈R , ∃y∈R , P(x,y)は真)
ではない
=∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y)は偽

「∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b」ではない
⇔∀a,b>0[∃n∈N s.t. na>b]ではない
⇔∀a,b>0[∃n∈N[na>b]]ではない
⇔∃a,b>0[∃n∈N[na>b]ではない]
⇔∃a,b>0[∀n∈N[na>bではない]]
⇔∃a,b>0[∀n∈N[na≦b]]
⇔∃a,b>0[∀n∈N , na≦b]
⇔∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b

∀x∈R , ∃y∈R , x<yは真である.
∵y=x+1をとればy∈Rでx<y .
∃x∈R , ∀y∈R , x<yは偽である.
∵y=x-1をとればy∈Rでx>y .

(∪[n=1→N]An)[c] 
={x|x∉(∪[n=1→N]An)} 
={x|x∈A1又はx∈A2又は
...又はx∈Anではない} 
={x|x∉A1かつx∉A2かつ 
...かつx∉An} 
=∩[n=1→N](An[c]) 
同様にして 
(∩[n=1→N]An)[c] =∪[n=1→N](An[c])

E∈R , E≠Фのとき
M=maxE
⇔ (i) ∀x∈E , x≦M (ii) M∈E
m=minE
⇔ (i) ∀x∈E , m≦x (ii) m∈E
Eは上に有界
⇔∃α∈R s.t. ∀x∈E , x≦α
Eは下に有界
⇔∃β∈R s.t. ∀x∈E , β≦x

最大値は存在すれば唯1つである.
(証明) E⊂R , E≠Фとし、
α=maxE , β=maxE , α≠βと仮定.
[i] α<βのとき
β∈Eより、α=maxEに反する.
[ii] β<αのとき
α∈Eより、β=maxEに反する.
[i] , [ii]より、α=βである.

max(0,1)は存在しない.
(証明) M=max(0,1)となる
Mが存在すると仮定すると、
(i) ∀x∈(0,1) , x≦M
(ii) M∈(0,1)
が成り立つ.
0<M<(M+1)/2<1より
(M+1)/2∈(0,1)であり、
∃x∈(0,1) s.t. M<x .
これは(i)に反するから
max(0,1)は存在しない.

E⊂R , E≠Фのとき
U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a}
⇔ supE=minU(E) , 
U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x}
⇔ infE=maxU(E) .

E⊂R , E≠Ф , 
U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a}
のときα=supE
⇔ (∀x∈E , x≦α)∧
(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x)
(証明) α=supE ⇔ α=minU(E)
⇔ (α∈U(E))∧(β∈U(E)⇒α≦β)
⇔ (∀x∈E , x≦α)∧
(β<α⇒β∉U(E))
⇔ (∀x∈E , x≦α)∧
(β<α⇒∃x∈E s.t. β<x)
⇔ (∀x∈E , x≦α)∧
(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x)

E⊂R , E≠Ф , 
U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x}
のときα=infE
⇔ (∀x∈E , α≦x)∧
(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε)
(証明) α=infE ⇔ α=maxU(E)
⇔ (α∈U(E))∧(β∈U(E)⇒β≦α)
⇔ (∀x∈E , α≦x)∧
(α<β⇒β∉U(E))
⇔ (∀x∈E , α≦x)∧
(α<β⇒∃x∈E s.t. x<β)
⇔ (∀x∈E , α≦x)∧
(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε)

E⊂R , E≠Ф , 
Eは上に有界のとき 
supE=-inf(-E)
(証明) α=supE
⇔ (∀x∈E , x≦α)∧
(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x)
⇔ (∀(-x)∈(-E) , -x≧-α)∧
(∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -α+ε>-x)
⇔ (∀(-x)∈(-E) , -α≦-x)∧
(∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -x<-α+ε)
⇔ -α=inf(-E)
⇔ α=-inf(-E)

アルキメデスの原理︰
Nは上に有界ではない.
(証明) Nが上に有界であると
仮定すると、実数の連続性より
α=supNが存在する.
あるm∈Nをとると
α-1<m ... (i)
m+1∈Nより
m+1≦α ... (ii)
(i) , (ii)は矛盾するので
Nは上に有界ではない.

アルキメデスの原理︰
∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b
(証明) ∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b
と仮定すると、E={na|a>0,n∈N}は
上に有界であるから
実数の連続性よりα=supEが
存在し、あるn0∈Nをとると
α-a<n0a ... (i)
(n0+1)a∈Eより
(n0+1)a≦α ... (ii)
(i) , (ii)は矛盾するので
仮定は誤りである.

有理数の稠密性︰任意の異なる
2つの実数の間には有理数が存在.
(証明) α<βとする。1/(β-α)<nを
満たすn∈Nがあり、nαと-nαを
ともに超えるm∈Nも存在する.
-m<nα<mより、-m , -m+1 ,
 ... , m-1 , mのうちnαを初めて
超えるものをkとするとk-1≦nα<k .
よって、α<k/n≦α+(1/n)<α+β-α=β .
∴ α<k/n<β

E={1+(1/n)|n∈N}の
上限と下限を求めよ.
(解答例) x=1+(1/n0) (n0∈N)
をとると、1+(1/n0)≦2より
∀x∈E , x≦2 , 2∈Eであるから
maxEとsupEが存在し、
supE=maxE=2 .
1<1+(1/n0)が成り立つ.
∀ε>0をとると、
アルキメデスの原理より
1/ε<n0となるn0∈Nが存在.
∴ 1+(1/n0)<1+ε
(∀x∈E , 1≦x)∧
(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<1+ε)より
infEが存在し、infE=1 .

E=(0,1)の上界集合U(E)
および上限を求めよ.
(解答例) α≧1⇒∀x∈E , x<α , 
0<α<1⇒∃x∈E s.t. 0<α<x<1 , 
(∵有理数の中密性)
α≦0⇒∀x∈E , α<xより
∴ U(E)={α∈R|∀x∈E , x≦α}
=[1,∞) , supE=minU(E)=1

数列の極限︰
lim[n→∞]a[n]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε

a[n]=1/n ⇒ lim[n→∞]a[n]=0
(証明) アルキメデスの原理より
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 1/ε<N(ε) , 
∀n≧N(ε) , |(1/n)-0|
=|1/n|=1/n≦1/N(ε)<ε .
よって、lim[n→∞]a[n]=0 .

a[n]=(3n-2)/(2n+1)
⇒ lim[n→∞]a[n]=3/2
(証明) |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|
=|{2(3n-2)-3(2n+1)}/{2(2n+1)}|
=7/{2(2n+1)}<4/n . 
アルキメデスの原理より
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 4/ε<N(ε) , 
∀n≧N(ε) , |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|
<4/n≦4/{N(ε)}<ε .
よって、lim[n→∞]a[n]=3/2 .

a[n]=(√n)^(1/n) (n∈N)
⇒ lim[n→∞]a[n]=1
(証明) (√n)^(1/n)≧1より
(√n)^(1/n)=1+xとおくとx≧0 .
n=(1+x)^n≧1+nx+
({n(n-1)}/2)x²>({n(n-1)}/2)x² .
|(√n)^(1/n)-1|²=x²<2/(n-1) .
∴ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t.
2/{N(ε)-1}<ε² , ∀n≧N(ε) , 
|(√n)^(1/n)-1|<√{2/(n-1)}
<(2/{N(ε)-1})<ε
∴ lim[n→∞]a[n]=1

lim[n→∞]a[n]=α , 
b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]
⇒ lim[n→∞]b[n]=α
(証明) ∀ε>0 , ∃N(ε),N(ε)’∈N
s.t. (n>N(ε) ⇒|a[n]-α|<ε)∧
((1/ε)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|<N(ε)’) , 
∀n>N(ε) s.t. n≧N(ε)’ , 
|b[n]-α|=|(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α|
=|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)|
≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α|
=(1/n)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|+
(1/n)Σ[k=N(ε)+1→n]|a[k]-α|
<(1/n)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|+
({(n-N(ε)}/n)・ε<ε+ε=2ε .
(証明2) ∀ε>0 , ∃N(ε),N(ε)’∈N
s.t. (n>N(ε)’ ⇒|a[n]-α|<ε)∧
((1/ε)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|<N(ε)) , 
∀n≧N(ε) s.t. n>N(ε)’ , 
|b[n]-α|=|(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α|
=|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)|
≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α|
=(1/n)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|+
(1/n)Σ[k=N(ε)’+1→n]|a[k]-α|
<(1/n)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|+
({(n-N(ε)’}/n)・ε<ε+ε=2ε .

lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , 
∀n≧N(K) , a[n]>K
lim[n→∞]a[n]=-∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , 
∀n≧N(K) , a[n]<-K

lim[n→∞]a[n]=∞ , 
b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]
⇒ lim[n→∞]b[n]=∞
(証明) ∃n’∈N 
s.t. Σ[k=1→n’]a[k]>0 , 
∀K>0 , ∃N(K)∈N , 
∀n≧N(K) s.t. n>n’ , 
b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]
=(1/n)Σ[k=1→n’]a[k]+
(1/n)Σ[k=n’+1→n]a[k]
>(1/n)Σ[k=n’+1→n]a[k]
>{(n-n’)/n}・K

a[n]>0のとき
lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ lim[n→∞](1/a[n])=0
(証明) lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , a[n]>K
⇔ ∀(1/K)>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , |a[n]-0|=1/(a|n|)<1/K
⇔ lim[n→∞](1/a[n])=0

数列の極限値の一意性︰
a[n]→α , a[n]→β ⇒ α=β
(証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
|α-β|≦|α-a[n]|+|a[n]-β|<ε+ε=2ε .
∴ α=β 

収束する数列は有界.
(証明) a[n]→αとする.
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
であるから、ε=1をとると
∃N(1)∈N , 
∀n≧N(1) , |a[n]-α|<1 .
∴ |a[n]|=|(a[n]-α)+α|<1+|α|
K=max{|a[1]| , |a[2]| , ...
... , |a[N(1)-1]| , 1+|α|}
とおくと、∀n∈N , |a[n]|≦K .

∀n∈N , a[n]≦(<)b[n] , 
a[n]→α , a[n]→β ⇒ α≦β
(証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
α-ε<a[n]≦(<)b[n]<β+ε .
∴ α≦β (∵∀ε>0 , α-β<2ε)

数列の極限の性質︰
lim[n→∞]a[n]=α , 
lim[n→∞]b[n]=βのとき
(i) lim[n→∞](a[n]±b[n])=α±β
(ii) lim[n→∞](ca[n])=cα (cは定数)
(iii) lim[n→∞](a[n]b[n])=αβ
(iv) lim[n→∞](b[n]/a[n])=β/α (α≠0)
(証明)
(i) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
|a[n]±b[n]-(α±β)|
=|(a[n]-α)±(b[n]-β)|
≦|a[n]-α|+|b[n]-β|<2ε .
(ii) c=0のとき、∀ε>0 , 
∀n∈N , |ca[n]-cα|=0<ε .
c≠0のとき、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , 
|ca[n]-cα|=|c(a[n]-α)|≦|c||a[n]-α|<|c|ε .
(iii) 収束する数列は有界より
∃K>0 s.t. ∀n∈N , |b[n]|<K .
そこで、(∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε/(2K)),
N2(ε/(2|α|))}∈N , 
∀n≧max{N1(ε/(2K)),N2(ε/(2|α|))} , 
|a[n]b[n]-αβ|=|(a[n]-α)b[n]+α(b[n]-β)|
≦|a[n]-α||b[n]|+|α||b[n]-β|
<{ε/(2K)}・K+|α|・{ε/(2|α|)}<ε .
(iv) lim[n→∞]{1/(a[n])}=1/αを示せば良い.
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより
このときε=|α|/2>0をとると
|a[n]-α|<|α|/2であり
|a[n]|=|α-(α-a[n])|
≧|α|-|α-a[n]|>|α|/2となるから
∀ε>0 , ∃max(N(|α|/2),
N((|α|/2)・|α|・ε))∈N , 
∀n≧max(N(|α|/2),
N((|α|/2)・|α|・ε)) , 
|(1/a[n])-(1/α)|=|α-a[n]|/(|a[n]||α|)
<{(|α|/2)・|α|・ε}/(|α|/2・|α|)=ε .

lim[n→∞]a[n]=αのとき、
(i) {a[n]+b[n]}が収束する
ならば{b[n]}も収束.
(ii) {a[n]b[n]}が収束して、
α≠0ならば{b[n]}も収束.
(証明1)
(i) lim[n→∞](a[n]+b[n])=βとすると
(∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]+b[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
|b[n]-(β-α)|=|(α-a[n])+(a[n]+b[n]-β)|
≦|a[n]-α|+|a[n]+b[n]-β|<ε+ε=2ε .
 (ii) lim[n→∞]a[n]=α (α≠0) より
∃N1(|α|/2)∈N , ∀n≧N1(|α|/2) , 
|a[n]-α|<|α|/2となり、このとき
|a[n]|=|α-(α-a[n])|≧|α|-|α-a[n]|
>|α|-(|α|/2)=|α|/2 .
lim[n→∞](a[n]b[n])=γとすると
∀ε>0 , ∃N3(ε)∈N , 
∀n≧N3(ε) , |a[n]b[n]-γ|<ε .
∴ ∀ε>0 , ∃max{N1((|α|/4)ε),
N2(|α|²/(4|γ|))}∈N , 
∀n≧max{N1((|α|/4)ε),
N2(|α|²/(4|γ|))}∈N , 
|b[n]-(γ/α)|=|{(a[n]b[n])/(a[n])} - (γ/α)|
=|αa[n]b[n]-γa[n]|/(|a[n]||α|)
=|α(a[n]b[n]-γ)+γ(α-a[n])|/(|a[n]||α|)
≦(|α||a[n]b[n]-γ|+|γ||a[n]-α|)/(|a[n]||α|)
<{|α|・(|α|/4)ε+|γ|・{|α|²/(4|γ|)}ε}
/{(|α|/2)・|α|}={(|α|²/2)ε}/(|α|²/2)=ε .
(証明2)
(i) lim[n→∞](a[n]+b[n])=βとすると
lim[n→∞]b[n]
=lim[n→∞]{(a[n]+b[n])-a[n]}=β-α .
(ii) lim[n→∞]a[n]=α (α≠0) より
∃N1(|α|)∈N , ∀n≧N1(|α|) , 
|a[n]-α|<|α|であり、
このとき|a[n]|=|α-(α-a[n])|
≧|α|-|α-a[n]|>|α|-|α|=0 .
∴∀n≧N1(|α|) , a[n]≠0 .
lim[n→∞](a[n]b[n])=γとすると
lim[n→∞]b[n]
=lim[n→∞]{(a[n]b[n])/(a[n])=γ/α .

はさみうちの原理︰
∀n∈N , a[n]≦b[n]≦c[n] , 
(lim[n→∞]a[n]=α)∧
(lim[n→∞]c[n]=α)
⇒ lim[n→∞]b[n]=α
(証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |c[n]-α|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,
α-ε<a[n]≦b[n]≦c[n]<α+ε .
∴ ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |b[n]-α|<ε .

∀n∈N , a[n]≦b[n] , 
lim[n→∞]a[n]=∞
⇒ lim[n→∞]b[n]=∞
(証明) 仮定より
∀K>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , b[n]≧a[n]>K .

∀n∈N , a[n]≦b[n] , 
lim[n→∞]b[n]=-∞
⇒ lim[n→∞]a[n]=-∞
(証明) 仮定より
∀K>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , a[n]≦b[n]<-K .

{a[n]}は(単調)増加列
⇔ ∀n∈N , a[n]≦a[n+1] 
{a[n]}は(単調)減少列
⇔ ∀n∈N , a[n]≧a[n+1] 
{a[n]}は単調数列
⇔ {a[n]}は増加列または減少列

∀α∈Rに対し、αに収束する
増加列{r[n]}が存在する.
(証明) ∀n∈N , ∃r[n]∈Q s.t. 
α-(1/n)<r[n]<α - {1/(n+1)} .
このとき、r[n]<α - {1/(n+1)}<r[n+1]
より{r[n]}は増加列であり
α-(1/n)→α , α - {1/(n+1)}→α .
∴ r[n]→α .

上に有界な増加列は収束する.
(証明) {a[n]}を上に有界な増加列
とするとα=sup{a[n]}が存在する. 
このとき、∃N(ε)∈N 
s.t. α-ε<a[N(ε)]≦α<α+ε .
∴ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 
α-ε<a[N(ε)]<α+ε , ∀n≧N(ε) , 
|a[n]-α|<ε . (下に有界な減少列も
同様のやり方で示せる. また、
ある番号から先だけ単調でも良い.)

{a[n]}に対して、
lim[n→∞](|a[n+1]|/|a[n]|)=c
が存在するとき
[i] 0≦c<1 ⇒ a[n]→0
[ii] 1<c ⇒ a[n]→∞
が成り立つ.
(証明) 
(i) 仮定より、∀ε>0 , 
∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , 
|a[n+1]|/|a[n]|<c’+ε .
c<c’<1を満たすc’をとると
|a[n+1]|<c’|a[n]<|a[n]|より
n≧N(ε)で{|a[n]|}は単調減少.
また、|a[n]|≧0より{a[n]}は収束.
|a[n]|→αとすると0≦α .
|a[n+1]|<c’|a[n]|でn→∞とすると
α≦c’α . 背理法によりα≦0 .
よって、α=0 .
(ii) b[n]=1/|a[n]|とおくと
lim[n→∞](b[n+1]/b[n])
=lim[n→∞](|a[n]|/|a[n+1]|)
=1/c<1より(i)からb[n]→0 .
よって、|a[n]|→∞ .

a[n]={1+(1/n)}ⁿは収束する.
(証明) a[n]=Σ[k=1→n](nCk)(1/n)
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