デュラチャ大学数学 のバックアップ(No.1)
(∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y)は真) 「∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b」ではない ∀x∈R , ∃y∈R , x<yは真である. (∪[n=1→N]An)[c] E∈R , E≠Фのとき 最大値は存在すれば唯1つである. max(0,1)は存在しない. E⊂R , E≠Фのとき E⊂R , E≠Ф , E⊂R , E≠Ф , E⊂R , E≠Ф , アルキメデスの原理︰ アルキメデスの原理︰ 有理数の稠密性︰任意の異なる
E={1+(1/n)|n∈N}の E=(0,1)の上界集合U(E) 数列の極限︰ a[n]=1/n ⇒ lim[n→∞]a[n]=0 a[n]=(3n-2)/(2n+1)
a[n]=(√n)^(1/n) (n∈N)
lim[n→∞]a[n]=α ,
=|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)|
lim[n→∞]a[n]=∞ lim[n→∞]a[n]=∞ ,
a[n]>0のとき 数列の極限値の一意性︰ 収束する数列は有界. ∀n∈N , a[n]≦(<)b[n] , 数列の極限の性質︰
=|(a[n]-α)±(b[n]-β)|
≦|a[n]-α||b[n]|+|α||b[n]-β|
lim[n→∞]a[n]=αのとき、
≦|a[n]-α|+|a[n]+b[n]-β|<ε+ε=2ε . (ii) lim[n→∞]a[n]=α (α≠0) より ∃N1(|α|/2)∈N , ∀n≧N1(|α|/2) ,
{|α|・(|α|/4)ε+|γ|・{|α|²/(4|γ|)}ε} はさみうちの原理︰ ∀n∈N , a[n]≦b[n] , ∀n∈N , a[n]≦b[n] , {a[n]}は(単調)増加列 ∀α∈Rに対し、αに収束する 上に有界な増加列は収束する. {a[n]}に対して、 a[n]={1+(1/n)}ⁿは収束する. |