デュラチャ大学数学 のバックアップの現在との差分(No.1)


(∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y)は真)

ではない

=∃x∈R [∀y∈R , P(x,y)は真]

ではない

=∀x∈R [[∀y∈R , P(x,y)は真]

ではない]

=∀x∈R [∃y∈R , P(x,y)は偽]

=∀x∈R , ∃y∈R , P(x,y)は偽

同様にして

(∀x∈R , ∃y∈R , P(x,y)は真)

ではない

=∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y)は偽

「∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b」ではない

⇔∀a,b>0[∃n∈N s.t. na>b]ではない

⇔∀a,b>0[∃n∈N[na>b]]ではない

⇔∃a,b>0[∃n∈N[na>b]ではない]

⇔∃a,b>0[∀n∈N[na>bではない]]

⇔∃a,b>0[∀n∈N[na≦b]]

⇔∃a,b>0[∀n∈N , na≦b]

⇔∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b

∀x∈R , ∃y∈R , x<yは真である.

∵y=x+1をとればy∈Rでx<y .

∃x∈R , ∀y∈R , x<yは偽である.

∵y=x-1をとればy∈Rでx>y .

(∪[n=1→N]An)[c]

={x|x∉(∪[n=1→N]An)}

={x|x∈A1又はx∈A2又は

...又はx∈Anではない}

={x|x∉A1かつx∉A2かつ

...かつx∉An}

=∩[n=1→N](An[c])

同様にして

(∩[n=1→N]An)[c] =∪[n=1→N](An[c])

E∈R , E≠Фのとき

M=maxE

⇔ (i) ∀x∈E , x≦M (ii) M∈E

m=minE

⇔ (i) ∀x∈E , m≦x (ii) m∈E

Eは上に有界

⇔∃α∈R s.t. ∀x∈E , x≦α

Eは下に有界

⇔∃β∈R s.t. ∀x∈E , β≦x

最大値は存在すれば唯1つである.

(証明) E⊂R , E≠Фとし、

α=maxE , β=maxE , α≠βと仮定.

[i] α<βのとき

β∈Eより、α=maxEに反する.

[ii] β<αのとき

α∈Eより、β=maxEに反する.

[i] , [ii]より、α=βである.

max(0,1)は存在しない.

(証明) M=max(0,1)となる

Mが存在すると仮定すると、

(i) ∀x∈(0,1) , x≦M

(ii) M∈(0,1)

が成り立つ.

0<M<(M+1)/2<1より

(M+1)/2∈(0,1)であり、

∃x∈(0,1) s.t. M<x .

これは(i)に反するから

max(0,1)は存在しない.

E⊂R , E≠Фのとき

U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a}

⇔ supE=minU(E) ,

U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x}

⇔ infE=maxU(E) .

E⊂R , E≠Ф ,

U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a}

のときα=supE

⇔ (∀x∈E , x≦α)∧

(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x)

(証明) α=supE ⇔ α=minU(E)

⇔ (α∈U(E))∧(β∈U(E)⇒α≦β)

⇔ (∀x∈E , x≦α)∧

(β<α⇒β∉U(E))

⇔ (∀x∈E , x≦α)∧

(β<α⇒∃x∈E s.t. β<x)

⇔ (∀x∈E , x≦α)∧

(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x)

E⊂R , E≠Ф ,

U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x}

のときα=infE

⇔ (∀x∈E , α≦x)∧

(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε)

(証明) α=infE ⇔ α=maxU(E)

⇔ (α∈U(E))∧(β∈U(E)⇒β≦α)

⇔ (∀x∈E , α≦x)∧

(α<β⇒β∉U(E))

⇔ (∀x∈E , α≦x)∧

(α<β⇒∃x∈E s.t. x<β)

⇔ (∀x∈E , α≦x)∧

(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε)

E⊂R , E≠Ф ,

Eは上に有界のとき

supE=-inf(-E)

(証明) α=supE

⇔ (∀x∈E , x≦α)∧

(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x)

⇔ (∀(-x)∈(-E) , -x≧-α)∧

(∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -α+ε>-x)

⇔ (∀(-x)∈(-E) , -α≦-x)∧

(∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -x<-α+ε)

⇔ -α=inf(-E)

⇔ α=-inf(-E)

アルキメデスの原理︰

Nは上に有界ではない.

(証明) Nが上に有界であると

仮定すると、実数の連続性より

α=supNが存在する.

あるm∈Nをとると

α-1<m ... (i)

m+1∈Nより

m+1≦α ... (ii)

(i) , (ii)は矛盾するので

Nは上に有界ではない.

アルキメデスの原理︰

∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b

(証明) ∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b

と仮定すると、E={na|a>0,n∈N}は

上に有界であるから

実数の連続性よりα=supEが

存在し、あるn0∈Nをとると

α-a<n0a ... (i)

(n0+1)a∈Eより

(n0+1)a≦α ... (ii)

(i) , (ii)は矛盾するので

仮定は誤りである.

有理数の稠密性︰任意の異なる

2つの実数の間には有理数が存在.

(証明) α<βとする。1/(β-α)<nを

満たすn∈Nがあり、nαと-nαを

ともに超えるm∈Nも存在する.
  • m<nα<mより、-m , -m+1 ,
    ... , m-1 , mのうちnαを初めて

    超えるものをkとするとk-1≦nα<k .

    よって、α<k/n≦α+(1/n)<α+β-α=β .

    ∴ α<k/n<β

E={1+(1/n)|n∈N}の

上限と下限を求めよ.

(解答例) x=1+(1/n0) (n0∈N)

をとると、1+(1/n0)≦2より

∀x∈E , x≦2 , 2∈Eであるから

maxEとsupEが存在し、

supE=maxE=2 .

1<1+(1/n0)が成り立つ.

∀ε>0をとると、

アルキメデスの原理より

1/ε<n0となるn0∈Nが存在.

∴ 1+(1/n0)<1+ε

(∀x∈E , 1≦x)∧

(∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<1+ε)より

infEが存在し、infE=1 .

E=(0,1)の上界集合U(E)

および上限を求めよ.

(解答例) α≧1⇒∀x∈E , x<α ,

0<α<1⇒∃x∈E s.t. 0<α<x<1 ,

(∵有理数の中密性)

α≦0⇒∀x∈E , α<xより

∴ U(E)={α∈R|∀x∈E , x≦α}

=[1,∞) , supE=minU(E)=1

数列の極限︰

lim[n→∞]a[n]=α

⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,

∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε

a[n]=1/n ⇒ lim[n→∞]a[n]=0

(証明) アルキメデスの原理より

∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 1/ε<N(ε) ,

∀n≧N(ε) , |(1/n)-0|

=|1/n|=1/n≦1/N(ε)<ε .

よって、lim[n→∞]a[n]=0 .

a[n]=(3n-2)/(2n+1)

⇒ lim[n→∞]a[n]=3/2

(証明) |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|

=|{2(3n-2)-3(2n+1)}/{2(2n+1)}|

=7/{2(2n+1)}<4/n .

アルキメデスの原理より

∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 4/ε<N(ε) ,

∀n≧N(ε) , |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|

4/n≦4/{N(ε)}<ε .


よって、lim[n→∞]a[n]=3/2 .

a[n]=(√n)^(1/n) (n∈N)

⇒ lim[n→∞]a[n]=1

(証明) (√n)^(1/n)≧1より

(√n)^(1/n)=1+xとおくとx≧0 .

n=(1+x)^n≧1+nx+

({n(n-1)}/2)x²>({n(n-1)}/2)x² .

|(√n)^(1/n)-1|²=x²<2/(n-1) .

∴ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t.

2/{N(ε)-1}<ε² , ∀n≧N(ε) ,

|(√n)^(1/n)-1|<√{2/(n-1)}

(2/{N(ε)-1})<ε


∴ lim[n→∞]a[n]=1

lim[n→∞]a[n]=α ,

数列の極限 Edit




数列の極限に入る前に、準備として

εを使った論理の練習から始めよう。

なお、この単元では特に断りがない限り

α,βは実数として扱うことにする。



【例題1】 次の命題が真であることを示せ。(∀a,b∈R)

(1) ∀ε>0(a≦b+ε) ⇔ a≦b

(2) ∀ε>0(a<b+ε) ⇔ a≦b

(3) ∀ε≧0(a≦b+ε) ⇔ a≦b

(4) ∀ε≧0(a<b+ε) ⇔ a<b

(5) ∀ε>0(|a-b|<ε) ⇔ a=b

(6) ∀ε>0(|a-b|≦ε) ⇔ a=b
(Pf) (1) →の証明:a>bと仮定すると
a>b+εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明:a≦b ⇒ a≦b≦b+ε(∀ε>0)
(2) →の証明:a>bと仮定すると
a>b+εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明:a≦b ⇒ a≦b<b+ε(∀ε>0)
(3) →の証明:a>bと仮定すると
a>b+εとなるε≧0が存在し、矛盾する。
←の証明:a≦b ⇒ a≦b≦b+ε(∀ε≧0)
(4) →の証明:a≧bと仮定すると
a≧b+εとなるε≧0が存在し、矛盾する。
←の証明:a<b ⇒ a<b≦b+ε(∀ε≧0)
(5) →の証明:a≠bと仮定すると
|a-b|>εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明:a=b ⇒ |a-b|=0<ε(∀ε>0)
(6) →の証明:a≠bと仮定すると
|a-b|>εとなるε>0が存在し、矛盾する。
←の証明:a=b ⇒ |a-b|=0≦ε(∀ε>0)



(A) 数列の極限の定義 (ε-N論法)

{a[n]}を数列、α∈Rとする。

lim[n→∞]a[n]=α

⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε

lim[n→∞]a[n]=αが成り立つとき、{a[n]}は

αに収束するといい、αを{a[n]}の極限値という。



【例題2】 次の命題(1)~(4)は同値であることを示せ。

(1) ∀ε1>0 , ∃N1(ε1)∈N , ∀n≧N1(ε1) , |a[n]-α|<ε1

(2) ∀ε2>0 , ∃N2(ε2)∈N , ∀n>N2(ε2) , |a[n]-α|<ε2

(3) ∀ε3>0 , ∃N3(ε3)∈N , ∀n≧N3(ε3) , |a[n]-α|≦ε3

(4) ∀ε4>0 , ∃N4(ε4)∈N , ∀n≧N4(ε4) , |a[n]-α|<2ε4
(Pf) (1)⇒(2):(1)を仮定し、∀ε2>0をとる。
N2(ε2)=N1(ε2) , n>N2(ε2) ⇒ n>N1(ε2)
⇒ n≧N1(ε2) ⇒ |a[n]-α|<ε2 。
(2)⇒(1):(2)を仮定し、∀ε1>0をとる。
N1(ε1)=N2(ε1)+1 , n≧N1(ε1)
⇒ n≧N2(ε1)+1 ⇒ n>N2(ε1) ⇒ |a[n]-α|<ε1
(1)⇒(3):(1)を仮定し、∀ε3>0をとる。
N3(ε3)=N1(ε3) , n≧N3(ε3) ⇒ n≧N1(ε3)
⇒ |a[n]-α|<ε3 ⇒ |a[n]-α|≦ε3
(3)⇒(1):(3)を仮定し、∀ε1>0をとる。
N1(ε1)=N3((ε1)/2) , n≧N1(ε1) ⇒ n≧N3((ε1)/2)
⇒ |a[n]-α|≦(ε1)/2 ⇒ |a[n]-α|<ε1
(1)⇒(4):(1)を仮定し、∀ε4>0をとる。
N4(ε4)=N1(ε4) , n≧N4(ε4) ⇒ n≧N1(ε4)
⇒ |a[n]-α|<ε4 ⇒ |a[n]-α|<2ε4
(4)⇒(1):(4)を仮定し、∀ε1>0をとる。
N1(ε1)=N4((ε1)/2) , n≧N1(ε1) ⇒ n≧N4((ε1)/2)
⇒ |a[n]-α|<2・{(ε1)/2}=ε1

※2ε4の2は任意の正数に置き換え可能。



【例題3】 lim[n→∞](1/n)=0を示せ。
(Pf) アルキメデスの原理より
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 1/ε<N(ε) , 
∀n≧N(ε) , |(1/n)-0|
=|1/n|=1/n≦1/N(ε)<ε 。



【例題4】 lim[n→∞](3n-2)/(2n+1)=3/2を示せ。
(Pf) |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|
=|{2(3n-2)-3(2n+1)}/{2(2n+1)}|
=7/{2(2n+1)}<4/n
アルキメデスの原理より
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 4/ε<N(ε) , 
∀n≧N(ε) , |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)|
<4/n≦4/{N(ε)}<ε 。



【例題5】 lim[n→∞](ⁿ√n)=1を示せ。
(Pf) ⁿ√n<1と仮定する。ⁿ√n>0より
両辺をn乗してn<1。これはn≧1に反する。
よって、ⁿ√n≧1なのでⁿ√n=1+xとおくとx≧0 。
n=(1+x)^n≧1+nx+({n(n-1)}/2)x²>({n(n-1)}/2)x²
|ⁿ√n-1|²=x²<2/(n-1)
∴∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t.
2/{N(ε)-1}<ε² , ∀n≧N(ε) , 
|ⁿ√n-1|<√{2/(n-1)}
≦√(2/{N(ε)-1})<ε

※√a+bとは(√a)+bのことである。



【例題6】 lim[n→∞]a[n]=α ,
b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]

⇒ lim[n→∞]b[n]=α

(証明) ∀ε>0 , ∃N(ε),N(ε)’∈N

s.t. (n>N(ε) ⇒|a[n]-α|<ε)∧

((1/ε)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|<N(ε)’) ,

∀n>N(ε) s.t. n≧N(ε)’ ,
b[n]-α=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α

=|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)|

≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α|

=(1/n)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|+

(1/n)Σ[k=N(ε)+1→n]|a[k]-α|

(1/n)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|+


({(n-N(ε)}/n)・ε<ε+ε=2ε .

(証明2) ∀ε>0 , ∃N(ε),N(ε)’∈N

s.t. (n>N(ε)’ ⇒|a[n]-α|<ε)∧

*1 ,

∀n≧N(ε) s.t. n>N(ε)’ ,
b[n]-α=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α

=|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)|

≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α|

=(1/n)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|+

(1/n)Σ[k=N(ε)’+1→n]|a[k]-α|

(1/n)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|+


({(n-N(ε)’}/n)・ε<ε+ε=2ε .

⇒ lim[n→∞]b[n]=α を示せ。
(Pf) ∀ε>0 , ∃N1(ε),N2(ε)∈N
s.t. (n>N1(ε) ⇒ |a[n]-α|<ε)∧
((1/ε)Σ[k=1→N1(ε)]|a[k]-α|<N2(ε)) , 
∀n>max{N1(ε),N2(ε)} , 
|b[n]-α|=|(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α|
=|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)|
≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α|
=(1/n)Σ[k=1→N1(ε)]|a[k]-α|+
(1/n)Σ[k=N1(ε)+1→n]|a[k]-α|
<(1/n)Σ[k=1→N1(ε)]|a[k]-α|+
({(n-N(ε)}/n)・ε<ε+ε=2ε



極限の一意性:

lim[n→∞]a[n]=α ,

lim[n→∞]a[n]=β ⇒ α=β
(Pf)  (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
|α-β|≦|α-a[n]|+|a[n]-β|<ε+ε=2ε 。
∴α=β



数列{a[n]}は上に有界

⇔ ∃α∈R s.t. ∀n∈N , a[n]≦α


数列{a[n]}は下に有界

⇔ ∃β∈R s.t. ∀n∈N , β≦a[n]


数列{a[n]}は有界

⇔ ∃K>0 s.t. ∀n∈N , |a[n]|≦K



(Thm1) 収束する数列は有界である。
(Pf) lim[n→∞]a[n]=αとすると
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n>N(ε) , |a[n]-α|<ε
であるから、ε=1をとると
∃N(1)∈N , ∀n>N(1) , |a[n]-α|<1 。
このとき、|a[n]|=|(a[n]-α)+α|<1+|α|より
K=max{|a[1]| , ...
... , |a[N(1)]| , 1+|α|}とおくと
∀n∈K , |a[n]|≦K 。よって、{a[n]}は有界。

※証明の都合上、∀n≧N(ε)にはしなかった。



(Thm2) (∀n∈N , a[n]≦(<)b[n])∧

(lim[n→∞]a[n]=α , lim[n→∞]b[n]=β) ⇒ α≦β
(Pf) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧
(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , 
α-ε<a[n]≦(<)b[n]<β+ε 。
∴α≦β (∵∀ε>0 , α-β<2ε)



lim[n→∞]a[n]=∞

⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K


lim[n→∞]a[n]=-∞

⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K


このとき、数列{a[n]}は∞又は-∞に発散するという。



【例題7】 数列{a[n]}が∞に発散するとき、

{a[n]}は収束しないことを示せ。
(Pf) ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n>N(K) , a[n]>K
⇒ (L=min{a[1] , ...
... , a[N(K)] , K} ⇒ ∀n∈N , a[n]≧L)
⇒ {a[n]}は下に有界
⇒ {a[n]}は有界ではない
⇒ {a[n]}は収束しない



【例題8】 数列{a[n]}が-∞に発散するとき、

{a[n]}は収束しないことを示せ。
(Pf) ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n>N(K) , a[n]<-K
⇒ (L=max{a[1] , ...
... , a[N(K)] , -K} ⇒ ∀n∈N , a[n]≦L)
⇒ {a[n]}は上に有界
⇒ {a[n]}は有界ではない
⇒ {a[n]}は収束しない



例題7,8のように収束しない数列は発散するという。

発散する数列はこの他に振動する数列がある。



数列の極限の性質:

lim[n→∞]a[n]=α , lim[n→∞]b[n]=βのとき

(i) lim[n→∞](a[n]±b[n])=α±β

(ii) lim[n→∞](ca[n])=cα (cは定数)

(iii) lim[n→∞](a[n]b[n])=αβ

(iv) lim[n→∞](b[n]/a[n])=β/α (α≠0)

(v) {a[n]}の有限個の項を変えたり、取り除いたり、

{a[n]}に有限個の項を加えたりしても新たな数列

において収束する値、発散の状態は不変。
(Pf) (i) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 
|a[n]-α|<ε)∧(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , 
|a[n]-β|<ε)より、∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |a[n]±b[n]-(α±β)|
=|(a[n]-α)±(b[n]-β)|≦|a[n]-α|+|b[n]-β|<2ε 。
(ii) c=0のとき ∀ε>0 , ∀n∈N , |ca[n]-cα|=0<ε 。
c≠0のとき ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |
a[n]-α|<εより、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , 
|ca[n]-cα|=|c(a[n]-α)|≦|c||a[n]-α|<|c|ε 。
(iii) 収束列は有界なので、∃K>0(∀n∈N(|b[n]|<K)) 。
そこで、(∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 
|a[n]-α|<ε)∧(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |b[n]-β|<ε)より、∀ε>0 , 
∃max{N1(ε/(2K)),N2(ε/(2|α|))}∈N , 
∀n≧max{N1(ε/(2K)),N2(ε/(2|α|))} , 
|a[n]b[n]-αβ|=|(a[n]-α)b[n]+α(b[n]-β)|
≦|a[n]-α||b[n]|+|α||b[n]-β|
<{ε/(2K)}・K+|α|・{ε/(2|α|)}=ε 。
(iv) lim[n→∞]{1/(a[n])}=1/αを示せば良い。
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより
このときε=|α|/2>0をとると、|a[n]-α|<|α|/2であり
|a[n]|=|α-(α-a[n])|≧|α|-|α-a[n]|>|α|/2なので
∀ε>0 , ∃max(N(|α|/2),N((|α|/2)・|α|・ε))∈N , 
∀n≧max(N(|α|/2) , N((|α|/2)・|α|・ε)) , 
|(1/a[n])-(1/α)|=|α-a[n]|/(|a[n]||α|)
<{(|α|/2)・|α|・ε}/(|α|/2・|α|)=ε 。
(v) {a[n]}の有限個の項を変えることは{a[n]}の
有限個の項を取り除き、有限個の項を加えることに
等しいので、取り除く場合と加える場合について考える。
<1> {a[n]}から有限個の項を取り除くとき
{a[n]}からk個(∀k∈N)の項a[n(1)],・・・,a[n(k)]を
取り除いた数列を{b[n]}とおく。(n(1)<n(2)<・・・)
[1] lim[n→∞]a[n]=αの場合
lim[n→∞]a[n]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
(1) N(ε)>n(k)のとき。
a[N(ε)]=b[N(ε)-k]より、N(ε)-k=N1(ε)とおくと
∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,∀n≧N1(ε) , |b[n]-α|<ε 。
(2) N(ε)≦n(k)のとき
a[n(k)+1]=b[n(k)+1-k]より
n(k)+1-k=N2(n(k))とおくと
∀ε>0 , ∃N2(n(k))∈N ,
∀n≧N2(n(k)) , |b[n]-α|<ε 。
(1),(2)より、lim[n→∞]b[n]=α 。
[2] lim[n→∞]a[n]=∞の場合
lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K
(3) N(K)>n(k)のとき
a[N(K)]=b[N(K)-k]より、N(K)-k=N3(K)とおくと
∀K>0 , ∃N3(K)∈N , ∀n≧N3(K) , b[n]>K 。
(4) N(ε)≦n(k)のとき
a[n(k)+1]=b[n(k)+1-k]より
n(k)+1-k=N4(n(k))とおくと、∀K>0 ,
∃N4(n(k))∈N , ∀n≧N4(n(k)) , b[n]>K 。
(3),(4)より、lim[n→∞]b[n]=∞ 。
[3] lim[n→∞]a[n]=-∞の場合
lim[n→∞]a[n]=-∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K
(5) N(K)>n(k)のとき
a[N(K)]=b[N(K)-k]より、N(K)-k=N5(K)とおくと
∀K>0 , ∃N5(K)∈N , ∀n≧N5(K) , b[n]<-K 。
(6) N(ε)≦n(k)のとき
a[n(k)+1]=b[n(k)+1-k]より
n(k)+1-k=N6(n(k))とおくと
∀K>0 , ∃N6(n(k))∈N ,
∀n≧N6(n(k)) , b[n]<-K 。
(5),(6)より、lim[n→∞]b[n]=-∞ 。
<2> {a[n]}に有限個の項を加えるとき
{a[n]}にk個の数列{c[n]}(1≦n≦k)を
付け加えて得られる数列を{b[n]}とおく。
ただし、c[m1](1≦m1≦k)が{b[n]}の第A項、
c[m2](m1<m2≦k)が{b[n]}の第B項のとき
A<Bであるとする。すなわち、c[1]~c[k]のうち
c[k]が{b[n]}において最も後ろにある項である。
[4] lim[n→∞]a[n]=αの場合
lim[n→∞]a[n]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
(7) {a[n]}の第N(ε)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(ε)]=b[N(ε)+k]より、N(ε)+k=N7(ε)とおくと
∀ε>0 , ∃N7(ε)∈N ,∀n≧N7(ε) , |b[n]-α|<ε 。
(8) {a[n]}の第N(ε)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(ε)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(ε)>N(ε)は明らかである。)
a[N0(ε)]=b[N0(ε)+k]より、N0(ε)+k=N8(ε)とおくと
∀ε>0 , ∃N8(ε)∈N ,∀n≧N8(ε) , |b[n]-α|<ε 。
(7),(8)より、lim[n→∞]b[n]=α 。
[5] lim[n→∞]a[n]=∞の場合
lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K
(9) {a[n]}の第N(K)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(K)]=b[N(K)+k]より、N(K)+k=N9(K)とおくと
∀ε>0 , ∃N9(K)∈N ,∀n≧N9(K) , |b[n]-α|<ε 。
(10) {a[n]}の第N(K)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(K)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(K)>N(K)は明らかである。)
a[N0(K)]=b[N0(K)+k]より、N0(K)+k=N10(K)とおくと
∀K>0 , ∃N10(K)∈N , ∀n≧N10(K) , a[n]>K 。
(9),(10)より、lim[n→∞]b[n]=∞ 。
[5] lim[n→∞]a[n]=∞の場合
lim[n→∞]a[n]=∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K
(9) {a[n]}の第N(K)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(K)]=b[N(K)+k]より、N(K)+k=N9(K)とおくと
∀ε>0 , ∃N9(K)∈N ,∀n≧N9(K) , b[n]>K 。
(10) {a[n]}の第N(K)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(K)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(K)>N(K)は明らかである。)
a[N0(K)]=b[N0(K)+k]より、N0(K)+k=N10(K)とおくと
∀K>0 , ∃N10(K)∈N , ∀n≧N10(K) , b[n]>K 。
(9),(10)より、lim[n→∞]b[n]=∞ 。
[6] lim[n→∞]a[n]=-∞の場合
lim[n→∞]a[n]=-∞
⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K
(11) {a[n]}の第N(K)項より前に項c[k]を加えるとき
a[N(K)]=b[N(K)+k]より、N(K)+k=N11(K)とおくと
∀ε>0 , ∃N11(K)∈N ,∀n≧N11(K) , b[n]<-K 。
(12) {a[n]}の第N(K)項より後に項c[k]を加えるとき
項c[k]は{a[n]}のある第N0(K)項よりは前に加えられる。
(このとき、N0(K)>N(K)は明らかである。)
a[N0(K)]=b[N0(K)+k]より、N0(K)+k=N12(K)とおくと
∀K>0 , ∃N12(K)∈N , ∀n≧N12(K) , b[n]<-K 。
(11),(12)より、lim[n→∞]b[n]=-∞ 。
<1>,<2>より、(v)は示された。
(振動に関しても背理法より直ちに一致する。)



はさみうちの原理:

(∀n∈N , a[n]≦b[n]≦c[n])∧

(lim[n→∞]a[n]=α)∧(lim[n→∞]c[n]=α)

⇒ lim[n→∞]b[n]=α
(Pf) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 
|a[n]-α|<ε)∧(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , 
∀n≧N2(ε) , |c[n]-α|<ε)より
∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,
α-ε<a[n]≦b[n]≦c[n]<α+ε 。
∴∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , 
∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |b[n]-α|<ε 。



(Thm3) (∀n∈N , a[n]≦b[n])∧

(lim[n→∞]a[n]=∞) ⇒ lim[n→∞]b[n]=∞
(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , b[n]≧a[n]>K 。



(Thm4) (∀n∈N , a[n]≦b[n])∧

(lim[n→∞]b[n]=-∞) ⇒ lim[n→∞]a[n]=-∞
(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N ,
∀n≧N(K) , a[n]≦b[n]<-K 。



{a[n]}は(単調)増加列 ⇔ ∀n∈N , a[n]≦a[n+1]

{a[n]}は(単調)減少列 ⇔ ∀n∈N , a[n]≧a[n+1]

{a[n]}は単調数列 ⇔ {a[n]}は増加列または減少列



(Thm5) ∀α∈Rに収束する増加列{r[n]}が存在する。
(Pf) ∀n∈N , ∃r[n]∈Q s.t. 
α-(1/n)<r[n]<α-{1/(n+1)} 。
このとき、r[n]<α-{1/(n+1)}<r[n+1]より
{r[n]}は増加列であり、α-(1/n)→α ,
α-{1/(n+1)}→α 。 ∴r[n]→α 。

※r[n]→αとはlim[n→∞]r[n]=αのことである。



(Thm6) 上に有界な増加列は収束する。
(Pf) {a[n]}を上に有界な増加列とすると
α=sup{a[n]}が存在する。このとき、∀ε>0 ,
∃N(ε)∈N s.t. α-ε<a[N(ε)]≦α<α+ε ,
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε 。 



(Thm7) 下に有界な減少列は収束する。
{a[n]}を下に有界な減少列とすると
α=inf{a[n]}が存在する。このとき、∀ε>0 ,
∃N(ε)∈N s.t. α-ε<α≦a[N(ε)]<α+ε , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε 。



(Thm8) 上に有界でない増加列は∞に発散する。
(Pf) {a[n]}を上に有界でない増加列とする。
このとき、{a[n]}は上に有界ではないので
∀α∈R , ∃N(α)∈N s.t. a[n]>α 。
また、{a[n]}は増加列であるからα=K>0として
∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K 。



(Thm9) 下に有界でない減少列は-∞に発散する。
(Pf) {a[n]}を下に有界でない減少列とする。
このとき、{a[n]}は下に有界ではないので
∀α∈R , ∃N1(α)∈N s.t. a[n]<α 。
また、{a[n]}は減少列であるからα=-K<0として
∀-K<0 , ∃N1(-K)∈N , ∀n≧N1(-K) , a[n]<-K 。
ここで、N1(-K)=N(K)とおくと
∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K 。



(Thm10) 数列{a[n]}に対して、

lim[n→∞](|a[n+1]|/|a[n]|)=cのとき

[i] 0≦c<1 ⇒ lim[n→∞]a[n]=0

[ii] 1<c ⇒ lim[n→∞]|a[n]|=∞ 。
(Pf) [i] 仮定より、∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , 
∀n≧N1(ε) , |(|a[n+1]|/|a[n]|)-c|<ε 。
このとき、|a[n+1]|/|a[n]|<c+ε 。
c'=c+ε s.t. c<c'<1をとると∃N(c')∈N , 
∀n≧N(c') , |a[n+1]|/|a[n]|<c'
|a[n+1]|<c'|a[n]|<|a[n]|より、n≧N(c')で
{|a[n]|}は単調減少かつ|a[n]|≧0より、{a[n]}は収束。
lim[n→∞]|a[n]|=αとすると0≦α 。
|a[n+1]|<c’|a[n]|でn→∞とするとα≦c’α 。
背理法によりα≦0 。よって、α=0 。
[ii] b[n]=1/|a[n]|とおくと
lim[n→∞](b[n+1]/b[n])
=lim[n→∞](|a[n]|/|a[n+1]|)
=1/c<1。また、[i]よりlim[n→∞]b[n]=0 。
よって、lim[n→∞]|a[n]|=∞ 。

※lim[n→∞](1/|a[n]|)=0

⇔ ∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |1/|a[n]||<ε

⇔ ∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 1/|a[n]|<ε

⇔ ∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , 1/ε<|a[n]|

⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , |a[n]|>K

⇔ lim[n→∞]a[n]=∞



【例題9】 ∀a∈R , lim[n→∞]{(aⁿ)/(n!)}=0を示せ。
(Pf) |{a^(n+1)}/{(n+1)!)}|/|(aⁿ)/(n!)|=|a|/n
∴|{a^(n+1)}/{(n+1)!)}|/|(aⁿ)/(n!)|→0
よって、∀a∈R , lim[n→∞]{(aⁿ)/(n!)}=0 。



【例題10】 a[n]={1+(1/n)}ⁿは収束することを示せ。
(Pf) nCk(1/n)^k={n(n-1)...(n-k+1)}/{k!(n^k)}
={1/(k!)}({n(n-1)...(n-k+1)}/(n・n・...・n))
={1/(k!)}Π[j=0→k-1]{1-(j/n)}(k≧1)より、
∀n≧2 , a[n]=Σ[k=0→n]{nCk(1/n)^k}
=2+Σ[k=2→n]({1/(k!)}Π[j=1→k-1]{1-(j/n)}) 。
∀n≧2 , a[n+1]-a[n]
=Σ[k=2→n+1]({1/(k!)}Π[j=1→k-1](1-{j/(n+1)}))-
Σ[k=2→n]({1/(k!)}Π[j=1→k-1]{1-(j/n)}) 
=Σ[k=2→n]{{1/(k!)}(Π[j=1→k-1](1-{j/(n+1)})-
Π[j=1→k-1]{1-(j/n)})}+
(1/{(n+1)!})Π[j=1→n](1-{j/(n+1)})
=Σ[k=2→n]{{1/(k!)}(Π[j=1→k-1]b[j]-
Π[j=1→k-1]c[j])}+(1/{(n+1)!})Π[j=1→n]b[j]
(b[j]=1-{j/(n+1)} , c[j]=1-(j/n))
1≦j≦n-1のとき、b[j]>c[j]>0なので
{1/(k!)}Π[j=1→k-1]b[j]>{1/(k!)}Π[j=1→k-1]c[j]
(2≦k≦n)。また、1≦j≦nのとき、b[j]>0なので
Π[j=1→n]b[j]>0。よって、∀n≧2 , a[n+1]-a[n]>0。
1≦j≦n-1のとき、0<c[j]<1なので
{1/(k!)}Π[j=1→k-1]c[j]<1/(k!) (2≦k≦n) 。
よって、∀n≧2 , a[n]=2+
Σ[k=2→n]{1/(k!)}Π[j=1→k-1]c[j]
<2+Σ[k=2→n]{1/(k!)}<2+Σ[k=2→n](1/{2^(k-1)})
=2+({(1/2){1-(1/2)^(n-1)}}/{1-(1/2)})
=3-(1/2)^(n-1)<3 。
a[1]=2<3より、∀n∈N , a[n]<3 。
これより、{a[n]}は上に有界な増加列なので収束する。



{a[n(k)]} (∀k,n(k)∈N , n(k)<n(k+1))

で表される数列を{a[n]}の部分列という。



(Thm11) lim[n→∞]a[n]=α ⇒ {a[n]}の任意の部分列

{a[n(k)]}について、lim[k→∞]a[n(k)]=α 。
(Pf) 仮定より、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , 
|a[n]-α|<ε 。{a[n]}の任意の部分列{a[n(k)]}をとると
lim[k→∞]n(k)=∞より、∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) ,
n(k)≧N(ε) 。このとき、|a[n(k)]-α|<ε 。
∴∀ε>0 , ∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) , |a[n(k)]-α|<ε



(Thm12) lim[n→∞]a[n]=∞ ⇒ {a[n]}の任意の部分列

{a[n(k)]}について、lim[k→∞]a[n(k)]=∞ 。
(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , 
a[n]>K 。{a[n]}の任意の部分列{a[n(k)]}をとると
lim[k→∞]n(k)=∞より、∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) ,
n(k)≧N(K) 。このとき、a[n(k)]>K 。
∴∀K>0 , ∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) , a[n(k)]>K



(Thm13) lim[n→∞]a[n]=-∞ ⇒ {a[n]}の任意の部分列

{a[n(k)]}について、lim[k→∞]a[n(k)]=-∞ 。
(Pf) 仮定より、∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , 
a[n]<-K 。{a[n]}の任意の部分列{a[n(k)]}をとると
lim[k→∞]n(k)=∞より、∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) ,
n(k)≧N(K) 。このとき、a[n(k)]<-K 。
∴∀K>0 , ∃k(K)∈N , ∀k≧k(K) , a[n(k)]<-K



ボルツァノ・ワイエルストラスの定理:

有界な数列は収束部分列を含む。
(Pf) {a[n]}を有界とし、p[1]≦a[n]≦q[1]とする。
I[1]=[P[1],q[1]]を中点で分け、{a[n]}の項を無限個
含む方をI[2]=[p[2],q[2]]とする。(両方とも含む場合は
どちらでも可) この操作を繰り返してI[n]=[p[n],q[n]]を
作るとI[1]⊃I[2]⊃・・・より、p[1]≦p[2]≦・・・
≦p[n]≦・・・≦q[n]≦・・・≦q[2]≦q[1] 。
p[n]は上に有界な増加列、q[n]は下に有界な減少列なので
ともに収束する。lim[n→∞]p[n]=α , lim[n→∞]q[n]=β
とおくと、q[n]-p[n]=(q[1]-p[1])/{2^(n-1)}より
lim[n→∞](q[n]-p[n])=0 。∴α=β
∀k∈N , I(k)は無限個の項を含むから∀k∈N , 
∃a[n(k)]∈I(k) s.t. n(1)<n(2)<・・・ 。
このとき、p[k]≦a[n(k)]≦q[k]なので
はさみうちの原理より、lin[k→∞]a[n(k)]=α 。



数列{a[n]}がコーシー列

⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀m,n≧N(ε) , |a[m]-a[n]|<ε



コーシーの判定条件:

{a[n]}が収束する ⇔ {a[n]}がコーシー列
(Pf) {a[n]}が収束する
⇒ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε
⇒ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀m,n≧N(ε) , 
|a[m]-a[n]|≦|a[m]-α|+|α-a[n]|<2ε
{a[n]}がコーシー列
⇒ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , 
∀m,n≧N(ε) , |a[m]-a[n]|<ε
⇒ ∃N(1)∈N , ∀n≧N(1) , |a[N(1)]-a[n]|<1
⇒ ∀n∈N , |a[n]|≦max{|a[1],a[2],・・・,
|a[N(1)-1]|,1+|a[n]|}
⇒ ∃{a[n(k)]} s.t. lim[k→∞]a[n(k)]=α
⇒ (∀ε>0 , ∃k1(ε)∈N , ∀k≧k1(ε) , 
|a[n(k)-α|<ε)∧(∃k2(ε)∈N ,
∀k≧k2(ε) , n(k)≧N(ε))
⇒ k(ε)=max{k1(ε),k2(ε)とおくと、
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|
≦|a[n]-a[n(k(ε))]|+|a[n(k(ε))]-α|<2ε 。



Σ[n=1→∞]a[n]=a[1]+a[2]+・・・を(無限)級数といい、

S[n]=Σ[k=1→n]a[k]を第n部分和という。

また、{S[n]}はΣ[n=1→∞]a[n]の部分和列と呼ばれる。

無限級数の収束、発散は次のように定義される。

(1) Σ[n=1→∞]a[n]が収束する ⇔ {S[n]}が収束する

(2) Σ[n=1→∞]a[n]が発散する ⇔ {S[n]}が発散する

(3) Σ[n=1→∞]a[n]=±∞ ⇔ lim[n→∞]{S[n]}=±∞



【例題10】 Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}

=a/(1-r) (|r|<1) , ±∞ (a≠0 , r=1)を示せ。
(Pf) r=0のときは考えなくて良い。(0^0は定義不可能)
[i] a≠0,r≠1のとき
Σ[k=1→n]{ar^(k-1)}={a(r^n-1)}/(r-1)より
lim[n→∞](r^n)について考える。
(1) 0<|r|<1のとき
(Thm10)より、0<|r|<1 ⇒ lim[n→∞](r^n)=0 。
∴lim[n→∞]Σ[k=1→n]{ar^(k-1)}=a/(1-r)
(2) r>1のとき
(Thm10)より、r>1 ⇒ lim[n→∞](r^n)=∞ 。
∴lim[n→∞]Σ[k=1→n]{ar^(k-1)}=∞
(3) r<-1のとき
a[n]=r^nはnの値が1増えるごとに符号が反転するため
{a[n]}は∞,-∞のいずれにも発散せず、
lim[n→∞](r^n)=α∈Rと仮定すると
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |r^n-α|<ε 。
このとき、α-ε<|r^n|<α+εとなるが
(Thm10)より、lim[n→∞]|r^n|=∞なので矛盾。
よって、r<-1のとき{a[n]}は振動し、
b[n]=Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}とおくと
{b[n]}も同様に振動する。
(4) r=-1のとき
a[n]=r^nはnの値が1増えるごとに符号が反転するため
{a[n]}は∞,-∞のいずれにも発散せず、
lim[n→∞](r^n)=α∈Rと仮定すると
∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |(-1)^n-α|<ε 。
r=1をとると∃N(1)∈N , ∀n≧N(1) , |(-1)^n-α|<1 。
このとき、-1<(-1)^n-α<1 。 ∴-1+(-1)^n<α<1+(-1)^n
ここで、nが偶数のとき(-1)^n=1より、0<α<2となり
nが奇数のとき(-1)^n=-1より、-2<α<0となるが
極限の一意性に反するので{a[n]}は収束しない。
a[n]=-1(nは奇数),1(nは偶数)より、{a[n]}は
∞,-∞のいずれにも発散しないので{a[n]}は振動する。
b[n]=Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}とおくと
{b[n]}も同様に振動する。
[ii] a≠0,r=1のとき
(1) a>0のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=lim[n→∞](na)=∞ 。
(2) a<0のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=lim[n→∞](na)=-∞ 。
[iii] a=0のとき
(1) r≠1のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=0=a/(1-r) 。
(2) r=1のとき
Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}=0 。
[i]~[iii]より、Σ[n=1→∞]{ar^(n-1)}
=a/(1-r) (|r|<1) , ±∞ (a≠0 , r=1) 。



コーシーの判定条件(級数):

Σ[n=1→∞]a[n]が収束する

⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀m>n>N(ε) ,

|a[n+1]+・・・+a[m]|<ε
(Pf) S[n]=Σ[k=1→n]a[k]とおく。
Σ[n=1→∞]a[n]が収束する
⇔ {S[n]}が収束する
⇔ {S[n]}がコーシー列
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,
∀m,n≧N(ε) , |S[m]-S[n]|<ε
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,
∀m>n≧N(ε) , |S[m]-S[n]|<ε
(∵ m=n≧N(ε) ⇒ |S[m]-S[n]|=0<ε ,
n>m≧N(ε) ⇒ |S[m]-S[n]|=|S[n]-S[m]|<ε)
⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,
∀m>n≧N(ε) , |a[n+1]+・・・+a[m]|<ε



系1:Σ[n=1→∞]a[n]が収束する ⇒ lim[n→∞]a[n]=0
(Pf) Σ[n=1→∞]a[n]=S ,
S[n]=Σ[k=1→n]a[k]とおく。
Σ[n=1→∞]a[n]が収束する
⇒ Σ[n=1→∞]a[n+1]
=lim[n→∞](S[n+1]-S[n])=S-S=0
⇒ Σ[n=1→∞]a[n]=0



Σ[n=1→∞]a[n]は正項級数 ⇔ ∀n∈N , a[n]≧0



系2:正項級数Σ[n=1→∞]a[n]において

部分和列{S[n]}が上に有界ならば{S[n]}は収束し、

上に有界でないならば{S[n]}は∞に発散する。
(Pf) ∀n∈N , S[n+1]≧S[n]より、S[n]は増加列。
よって、(Thm6),(Thm8)より、{S[n]}が
上に有界ならば{S[n]}は収束し、{S[n]}が
上に有界でないならば{S[n]}は∞に発散する。



系3:正項級数Σ[n=1→∞]a[n]において部分和列

{S[n]}が収束しないならば{S[n]}は∞に発散する。
(Pf) 系2の対偶を考えれば良い。
{S[n]}が収束しない
⇒ {S[n]}は上に有界ではない
⇒ {S[n]}は∞に発散する



【例題11】 Σ[n=1→∞](1/n)=∞を示せ。
(Pf) S[n]=Σ[k=1→n]a[n]とおくと
∀n∈N , |S[2n]-S[n]|=S[2n]-S[n]
={1/(n+1)}+・・・+{1/(2n)}>{1/(2n)}・n=1/2より
{S[n]}は収束しないので、lim[n→∞]S[n]=∞ 。
よって、Σ[n=1→∞](1/n)=∞ 。



級数の性質:

Σ[n=1→∞]a[n],Σ[n=1→∞]b[n]が収束するならば

Σ[n=1→∞](a[n]±b[n]) , Σ[n=1→∞](ca[n])も収束し、

(1) Σ[n=1→∞](a[n]±b[n])

=Σ[n=1→∞]a[n]±Σ[n=1→∞]b[n]

(2) Σ[n=1→∞](ca[n])=cΣ[n=1→∞]a[n]

が成り立つ。また、S[n]=Σ[k=1→n]a[k]

で表される数列{S[n]}において、{a[n]}の

有限個の項を変えたり、取り除いたり、{a[n]}に

有限個の項を加えたりしても新たな数列における

収束、発散の状態は不変。(極限値は一般に不一致)
(Pf) (1),(2)は数列の極限の性質より明らか。
次に{a[n]}から有限個の項を取り除く場合を考える。
<1> {a[n]}から有限個の項を取り除くとき
取り除いて得られる新たな数列を{b[n]}とおき、
取り除いた項の最大の番号をn未満、取り除いた項の
和をAとすると、Σ[k=1→n]b[k]=S[n]-A 。
<2> {a[n]}に有限個の項を加えるとき
{a[n]}の第n項より前にM個の項を加えて
得られる数列を{b[n]}とおき、加えた項の
和をAとすると、Σ[k=1→n+M]b[k]=S[n]+A 。
よって、Σ[n=1→∞]b[n]の収束、発散の状態は
<1>,<2>のいずれであっても{S[n]}と変わらない。



α∈/Rとする。

αは{a[n]}の集積値

⇔ ∃{a[n(k)]} , lim[n→∞]a[n(k)]=α



(Thm14) α∈Rは{a[n]}の集積値

⇔ 任意のε>0に対して、|a[n]-α|<ε

を満たすn∈Nが無数に存在する。
(Pf) αは{a[n]}の集積値
⇔ ∃{a[n(k)]} , lim[k→∞]a[n(k)]=α
⇔ ∀ε>0 , ∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) , |a[n(k)]-α|<ε
⇔ ∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) s.t. |a[n]-α|<ε



(Thm15) E⊂/R , E≠Фとする。

∃{a[n]}(a[n]∈E ⇒ lim[n→∞]a[n]=supE)
(Pf) -∞<supE<∞のとき、α=supEとおくと
∃a[n]∈E s.t. α-(1/n)<a[n]≦α 。
はさみのうちの原理より、lim[n→∞]a[n]=α 。
supE=∞のとき、Eは上に有界ではないから
∃a[n]∈E s.t. a[n]>n 。
(Thm3)より、lim[n→∞]a[n]=∞ 。
supE=-∞のとき、E={-∞}より、lim[n→∞]a[n]=-∞ 。



(Thm16) E⊂/R , E≠Фとする。

∃{a[n]}(a[n]∈E ⇒ lim[n→∞]a[n]=infE)
(Pf) -∞<infE<∞のとき、α=infEとおくと
∃a[n]∈E s.t. α≦a[n]<α+(1/n) 。
はさみのうちの原理より、lim[n→∞]a[n]=α 。
infE=∞のとき、E={∞}より、lim[n→∞]a[n]=∞ 。
infE=-∞のとき、Eは下に有界ではないから
∃a[n]∈E s.t. a[n]<-n 。
(Thm4)より、lim[n→∞]a[n]=-∞ 。



(Thm17) {a[n]}の集積値の集合をA∈Rとする。

(α[m]∈A)∧(lim[m→∞]α[m]=α) ⇒ α∈A
(Pf) α[m]∈Aより、(Thm14)から
∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) s.t. |a[n]-α[m]|<ε 。
lim[m→∞]α[m]=αより、∀ε>0 , 
∃N(ε)∈N , ∀m≧N(ε) , |α[m]-α|<ε 。
これより、∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) , ∃N(ε)∈N , ∀m≧N(ε) ,
|a[n]-α|≦|a[n]-α[m]|+|α[m]-α|<2ε 。
∴∀ε>0 , ∃n∈N (n=n(k(ε)) ,
n(k(ε)+1) , ・・・) , |a[n]-α|
≦|a[n]-α[N(ε)]|+|α[N(ε)]-α|<2ε 。
よって、(Thm14)より、α∈A 。



系4:{a[n]}は有界 ⇒ {a[n]}の集積値の

集合E∈Rは最大値、最小値をもつ。
(Pf) 最大値の存在:
ボルツァーノ・ワイエルストラスの定理より
有界な数列は収束部分列を含むから
部分列を{a[n(k)}とおくと、∃α[m]∈R , ∀ε>0 ,
∃k(ε)∈N , ∀k≧k(ε) , |a[n(k)]-α[m]|<ε 。
{a[n]}は有界なので、∃A≦B , ∀n∈N ,
A≦a[n]≦Bが成り立つ。ここで、α[m]≧C>Bと
おくとε=C-Bで不適となり、α[m]≦D<Aとおいても
ε=A-Dで不適となるので、A≦α[m]≦B 。
これより、{a[n]}が有界ならばE∈Rも有界で
Eは上限をもつ。α[m]∈Eなので、(Thm16)より
∃{α[m]} , lim[m→∞]α[m]=supE 。
(Thm15)より、supE∈Eとなり、Eは最大値をもつ。
最小値の存在:
{a[n]}が有界ならばE∈Rも有界でEは下限をもつ。
α[m]∈Eなので、(Thm17)より、∃{α[m]} ,
lim[m→∞]α[m]=infE 。(Thm15)より
infE∈Eとなり、Eは最小値をもつ。



{a[n]}の集積値のうち、最大のものと最小のものを

求めたい。数列の極限の性質(v)より、{a[n]}の

最初の有限個の項を取り除いても集積値には影響を

与えないので、a[n]以降の項だけで考えて良い。

b[n]=sup{a[k]|k≧n}∈/R ,

c[n]=inf{a[k]|k≧n}∈/R

とおくと、∀k≧n , c[n]≦a[k]≦b[n] 。

A⊂B ⇒ infB≦infA≦supA≦supB なので

{b[n]}は単調減少で{c[n]}は単調増加。

(Thm6)~(Thm9)より次のことが言える。


lim[n→∞]b[n]=+∞ (∀n∈N , b[n]=+∞)

lim[n→∞]b[n]=α ({b[n]}は下に有界)

lim[n→∞]b[n]=-∞ ({b[n]}は下に有界ではない)


lim[n→∞]c[n]=+∞ ({c[n]}は上に有界ではない)

lim[n→∞]c[n]=α ({c[n]}は上に有界)

lim[n→∞]c[n]=-∞ (∀n∈N , b[n]=-∞)


これらの極限は±∞の場合も含め、存在するとみなす。


limsup[n→∞]a[n]=lim[n→∞]sup{a[k]|k≧n}

を{a[n]}の上極限といい、(/lim)[n→∞]a[n]とも表す。

liminf[n→∞]a[n]=lim[n→∞]inf{a[k]|k≧n}

を{a[n]}の上極限といい、(lim/)[n→∞]a[n]とも表す。



(Thm15) limsup[n→∞]a[n]は

{a[n]}の最大の集積値であり、

liminf[n→∞]a[n]は

{a[n]}の最小の集積値である。
(Pf) b[n]=sup{a[k]|k≧n} , 
c[n]=inf{a[k]|k≧n}とおく。
(1) limsup[n→∞]a[n]が{a[n]}の
最大の集積値になることを示す。
[1] limsup[n→∞]a[n]=lim[n→∞]b[n]=βとおく。
β=∞のとき、βは最大の集積値である。
β=-∞のとき、∀n∈N , a[n]≦b[n]により

lim[n→∞]a[n]=∞

⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N ,

∀n≧N(K) , a[n]>K

lim[n→∞]a[n]=-∞

⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N ,

∀n≧N(K) , a[n]<-K

lim[n→∞]a[n]=∞ ,

b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]

⇒ lim[n→∞]b[n]=∞

(証明) ∃n’∈N

s.t. Σ[k=1→n’]a[k]>0 ,

∀K>0 , ∃N(K)∈N ,

∀n≧N(K) s.t. n>n’ ,

b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k]

=(1/n)Σ[k=1→n’]a[k]+

(1/n)Σ[k=n’+1→n]a[k]

(1/n)Σ[k=n’+1→n]a[k]

{(n-n’)/n}・K


a[n]>0のとき

lim[n→∞]a[n]=∞

⇔ lim[n→∞](1/a[n])=0

(証明) lim[n→∞]a[n]=∞

⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N ,

∀n≧N(K) , a[n]>K

⇔ ∀(1/K)>0 , ∃N(K)∈N ,

∀n≧N(K) , |a[n]-0|=1/(a|n|)<1/K

⇔ lim[n→∞](1/a[n])=0

数列の極限値の一意性︰

a[n]→α , a[n]→β ⇒ α=β

(証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,

∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧

(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N ,

∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より

∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,

∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,

|α-β|≦|α-a[n]|+|a[n]-β|<ε+ε=2ε .

∴ α=β

収束する数列は有界.

(証明) a[n]→αとする.

∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,

∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε

であるから、ε=1をとると

∃N(1)∈N ,

∀n≧N(1) , |a[n]-α|<1 .

∴ |a[n]|=|(a[n]-α)+α|<1+|α|

K=max{|a[1]| , |a[2]| , ...

... , |a[N(1)-1]| , 1+|α|}

とおくと、∀n∈N , |a[n]|≦K .

∀n∈N , a[n]≦(<)b[n] ,

a[n]→α , a[n]→β ⇒ α≦β

(証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,

∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧

(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N ,

∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より

∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,

∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,

α-ε<a[n]≦(<)b[n]<β+ε .

∴ α≦β (∵∀ε>0 , α-β<2ε)

数列の極限の性質︰

lim[n→∞]a[n]=α ,

lim[n→∞]b[n]=βのとき

(i) lim[n→∞](a[n]±b[n])=α±β

(ii) lim[n→∞](ca[n])=cα (cは定数)

(iii) lim[n→∞](a[n]b[n])=αβ

(iv) lim[n→∞](b[n]/a[n])=β/α (α≠0)

(証明)

(i) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,

∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧

(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N ,

∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より

∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,

∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,
a[n]±b[n]-(α±β)

=|(a[n]-α)±(b[n]-β)|

≦|a[n]-α|+|b[n]-β|<2ε .

(ii) c=0のとき、∀ε>0 ,

∀n∈N , |ca[n]-cα|=0<ε .

c≠0のとき、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,

∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより

∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) ,

|ca[n]-cα|=|c(a[n]-α)|≦|c||a[n]-α|<|c|ε .

(iii) 収束する数列は有界より

∃K>0 s.t. ∀n∈N , |b[n]|<K .

そこで、(∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,

∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧

(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N ,

∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より

∀ε>0 , ∃max{N1(ε/(2K)),

N2(ε/(2|α|))}∈N ,

∀n≧max{N1(ε/(2K)),N2(ε/(2|α|))} ,
a[n]b[n]-αβ=(a[n]-α)b[n]+α(b[n]-β)

≦|a[n]-α||b[n]|+|α||b[n]-β|

{ε/(2K)}・K+|α|・{ε/(2|α|)}<ε .


(iv) lim[n→∞]{1/(a[n])}=1/αを示せば良い.

∀ε>0 , ∃N(ε)∈N ,

∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより

このときε=|α|/2>0をとると

|a[n]-α|<|α|/2であり
a[n]=α-(α-a[n])

≧|α|-|α-a[n]|>|α|/2となるから

∀ε>0 , ∃max(N(|α|/2),

N*2∈N ,

∀n≧max(N(|α|/2),

N*3 ,

|(1/a[n])-(1/α)|=|α-a[n]|/(|a[n]||α|)

{(|α|/2)・|α|・ε}/(|α|/2・|α|)=ε .


lim[n→∞]a[n]=αのとき、

(i) {a[n]+b[n]}が収束する

ならば{b[n]}も収束.

(ii) {a[n]b[n]}が収束して、

α≠0ならば{b[n]}も収束.

(証明1)

(i) lim[n→∞](a[n]+b[n])=βとすると

(∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,

∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧

(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N ,

∀n≧N2(ε) , |a[n]+b[n]-β|<ε)より

∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,

∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,
b[n]-(β-α)=(α-a[n])+(a[n]+b[n]-β)

≦|a[n]-α|+|a[n]+b[n]-β|<ε+ε=2ε .
(ii) lim[n→∞]a[n]=α (α≠0) より

∃N1(|α|/2)∈N , ∀n≧N1(|α|/2) ,

|a[n]-α|<|α|/2となり、このとき
a[n]=α-(α-a[n])α-α-a[n]

|α|-(|α|/2)=|α|/2 .


lim[n→∞](a[n]b[n])=γとすると

∀ε>0 , ∃N3(ε)∈N ,

∀n≧N3(ε) , |a[n]b[n]-γ|<ε .

∴ ∀ε>0 , ∃max{N1((|α|/4)ε),

N2(|α|²/(4|γ|))}∈N ,

∀n≧max{N1((|α|/4)ε),

N2(|α|²/(4|γ|))}∈N ,
b[n]-(γ/α)={(a[n]b[n])/(a[n])} - (γ/α)

=|αa[n]b[n]-γa[n]|/(|a[n]||α|)

=|α(a[n]b[n]-γ)+γ(α-a[n])|/(|a[n]||α|)

≦(|α||a[n]b[n]-γ|+|γ||a[n]-α|)/(|a[n]||α|)

{|α|・(|α|/4)ε+|γ|・{|α|²/(4|γ|)}ε}


/{(|α|/2)・|α|}={(|α|²/2)ε}/(|α|²/2)=ε .

(証明2)

(i) lim[n→∞](a[n]+b[n])=βとすると

lim[n→∞]b[n]

=lim[n→∞]{(a[n]+b[n])-a[n]}=β-α .

(ii) lim[n→∞]a[n]=α (α≠0) より

∃N1(|α|)∈N , ∀n≧N1(|α|) ,

|a[n]-α|<|α|であり、

このとき|a[n]|=|α-(α-a[n])|

≧|α|-|α-a[n]|>|α|-|α|=0 .

∴∀n≧N1(|α|) , a[n]≠0 .

lim[n→∞](a[n]b[n])=γとすると

lim[n→∞]b[n]

=lim[n→∞]{(a[n]b[n])/(a[n])=γ/α .

はさみうちの原理︰

∀n∈N , a[n]≦b[n]≦c[n] ,

(lim[n→∞]a[n]=α)∧

(lim[n→∞]c[n]=α)

⇒ lim[n→∞]b[n]=α

(証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N ,

∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧

(∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N ,

∀n≧N2(ε) , |c[n]-α|<ε)より

∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,

∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} ,

α-ε<a[n]≦b[n]≦c[n]<α+ε .

∴ ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N ,

∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |b[n]-α|<ε .

∀n∈N , a[n]≦b[n] ,

lim[n→∞]a[n]=∞

⇒ lim[n→∞]b[n]=∞

(証明) 仮定より

∀K>0 , ∃N(K)∈N ,

∀n≧N(K) , b[n]≧a[n]>K .

∀n∈N , a[n]≦b[n] ,

lim[n→∞]b[n]=-∞

⇒ lim[n→∞]a[n]=-∞

(証明) 仮定より

∀K>0 , ∃N(K)∈N ,

∀n≧N(K) , a[n]≦b[n]<-K .

{a[n]}は(単調)増加列

⇔ ∀n∈N , a[n]≦a[n+1]

{a[n]}は(単調)減少列

⇔ ∀n∈N , a[n]≧a[n+1]

{a[n]}は単調数列

⇔ {a[n]}は増加列または減少列

∀α∈Rに対し、αに収束する

増加列{r[n]}が存在する.

(証明) ∀n∈N , ∃r[n]∈Q s.t.

α-(1/n)<r[n]<α - {1/(n+1)} .

このとき、r[n]<α - {1/(n+1)}<r[n+1]

より{r[n]}は増加列であり

α-(1/n)→α , α - {1/(n+1)}→α .

∴ r[n]→α .

上に有界な増加列は収束する.

(証明) {a[n]}を上に有界な増加列

とするとα=sup{a[n]}が存在する.

このとき、∃N(ε)∈N

s.t. α-ε<a[N(ε)]≦α<α+ε .

∴ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t.

α-ε<a[N(ε)]<α+ε , ∀n≧N(ε) ,

|a[n]-α|<ε . (下に有界な減少列も

同様のやり方で示せる. また、

ある番号から先だけ単調でも良い.)

{a[n]}に対して、

lim[n→∞](|a[n+1]|/|a[n]|)=c

が存在するとき

[i] 0≦c<1 ⇒ a[n]→0

[ii] 1<c ⇒ a[n]→∞

が成り立つ.

(証明)

(i) 仮定より、∀ε>0 ,

∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) ,

|a[n+1]|/|a[n]|<c’+ε .

c<c’<1を満たすc’をとると

|a[n+1]|<c’|a[n]<|a[n]|より

n≧N(ε)で{|a[n]|}は単調減少.

また、|a[n]|≧0より{a[n]}は収束.

|a[n]|→αとすると0≦α .

|a[n+1]|<c’|a[n]|でn→∞とすると

α≦c’α . 背理法によりα≦0 .

よって、α=0 .

(ii) b[n]=1/|a[n]|とおくと

lim[n→∞](b[n+1]/b[n])

=lim[n→∞](|a[n]|/|a[n+1]|)

=1/c<1より(i)からb[n]→0 .

よって、|a[n]|→∞ .

a[n]={1+(1/n)}ⁿは収束する.

(証明) a[n]=Σ[k=1→n](nCk)(1/n)

*1 1/ε)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|<N(ε
*2 |α|/2)・|α|・ε
*3 |α|/2)・|α|・ε

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