デュラチャ大学数学 のバックアップソース(No.22)
&br; *実数 [#q84a08bc] &br; (A) 四則演算 a,b∈Rに対して、a+b,a-b,ab,b/a(a≠0)が Rの中に存在し、和、積に関して 交換律、結合律、分配律が成り立つ。 &br; (B) 大小関係 a,b∈Rに対して、a=b,a<b,b<aの いずれかが成り立ち、次の性質を満たす。 (1) a<b かつ b<c ⇒ a<c (2) a<b ⇒ ∀c∈R , a+c<b+c (3) a<b ⇒ ∀c>0 , ac<bc ※⇒は必ずしも逆が成り立たないことを 意味するわけではないので注意。 (2),(3)においては⇔でも良いが 伝えたい性質は⇒の方である。 &br; (C) 絶対値 &color(red){|x|=max{x,-x}};と定義する。 &br; x,y∈RのときThm1~Thm7が成り立つ。 &br; Thm1:|x|=x(x≧0),-x(x<0) (Pf) x≧0 ⇒ -x≦0≦x ⇒ |x|=max{x,-x}=x x<0 ⇒ x<0<-x ⇒ |x|=max{x,-x}=-x ※|x|=-x(x≦0)も当然成り立つ。 &br; Thm2:|x|≧x,|x|≧-x (Pf) x≧0 ⇒ |x|=x≧x x<0 ⇒ |x|=-x>0>x ∴|x|≧x x≧0 ⇒ |x|=x≧0≧-x x<0 ⇒ |x|=-x≧-x ∴|x|≧-x &br; Thm3:|x|=|-x| (Pf) |x|=max{x,-x}=max{-x,x} =max{-x,-(-x)}=|-x| &br; Thm4:|xy|=|x||y| (Pf) x≧0,y≧0 ⇒ |xy|=xy=|x||y| x≧0,y<0 ⇒ |xy|=-xy=x(-y)=|x||y| x<0,y≧0 ⇒ |xy|=-xy=(-x)y=|x||y| x<0,y<0 ⇒ |xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y| &br; Thm5:|y/x|=|y|/|x|(x≠0) (Pf) x>0,y≧0 ⇒ |y/x|=y/x=|y|/|x| x>0,y<0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=(-y)/x=|y|/|x| x<0,y≧0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=y/(-x)=|y|/|x| x<0,y<0 ⇒ |y/x|=y/x=(-y)/(-x)=|y|/|x| &br; Thm6:|x|²=x² (Pf) x≧0 ⇒ |x|=x ⇒ |x|²=x² x<0 ⇒ |x|=-x ⇒ |x|²=(-x)²=x² &br; Thm7:&color(red){||x|-|y||≦|x±y|≦|x|+|y|}; (Pf) |x±y|²-||x|-|y||²=(x±y)²-(|x|-|y|)² =x²±2xy+y²-(x²-2|xy|+y²)=2(|xy|±xy)≧0 ∴||x|-|y||≦|x±y| (∵|x±y|≧0,||x|-|y||≧0) (|x|+|y|)²-|x±y|²=(|x|+|y|)²-(x±y)² =x²+2|xy|+y²-(x²±2xy+y²)=2(|xy|∓xy)≧0 ∴|x±y|≦|x|+|y| (∵|x|+|y|≧0,|x±y|≧0) ※A²-B²≧0(A≧0,B≧0)⇒A≧B (Pf) A²-B²≧0(A>0,B≧0) ⇒ (A+B)(A-B)≧0(A+B>0) ⇒ A-B≧0 ⇒ A≧B A=B=0のときは明らかに成立。 &br; Thm9ではa≧0とする。(Thm8では直ちに成立) &br; Thm8:|x|≦a ⇔ -a≦x≦a (Pf) |x|≦a(x≧0) ⇒ -a≦0≦x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a |x|≦a(x<0) ⇒ -a≦0≦-x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a ∴|x|≦a ⇒ -a≦x≦a -a≦x≦a(x≧0) ⇒ |x|=x≦a -a≦x≦a(x<0) ⇒ -a≦-x≦a ⇒ |x|=-x≦a ∴-a≦x≦a ⇒ |x|≦a &br; Thm9:|x|≧a ⇔ x≦-a,a≦x (Pf) |x|≧a(x≧0) ⇒ |x|=x≧a |x|≧a(x<0) ⇒ |x|=-x≧a ⇒ x≦-a ∴|x|≧a ⇒ x≦-a,a≦x a≦x ⇒ |x|=x≧a x≦-a ⇒ |x|=-x≧a ∴x≦-a,a≦x ⇒ |x|≧a &br; Thm10:|x-α|≦β ⇔ α-β≦x≦α+β (Pf) |x-α|≦β ⇔ -β≦x-α≦β ⇔ α-β≦x≦α+β &br; (D) 集合と命題 &color(red){∀(任意の),∃(ある、存在する)};という記号がある。 &br; 【例題1】 「∃n∈N s.t. na>b」ではない ⇔ ∀n∈N , na≦bを示せ。 (Pf) 「∃n∈N s.t. na>b」ではない ⇔ 「∃n∈N[na>b]」ではない ⇔ ∀n∈N[na>bではない] ⇔ ∀n∈N[na≦b] ⇔ ∀n∈N , na≦b ※&color(red){s.t.};はsuch thatの略で &color(red){「〜であるような」};などと読む。 &br; 【例題2】 ∀x∈R , ∃y∈R , x<yは真、 ∃x∈R , ∀y∈R , x<yは偽であることを示せ。 (Pf) y=x+1をとればy∈Rでx<y。 y=x-1をとればy∈Rでx>y。 &br; 【例題3】 実数x,yに関する命題P(x,y)が 与えられているとする。このとき、次のことが 成り立つことをそれぞれ示しなさい。 (1) ∀x∈R , ∀y∈R , P(x,y) ⇔ ∀y∈R , ∀x∈R , P(x,y) (2) ∃x∈R , ∃y∈R , P(x,y) ⇔ ∃y∈R , ∃x∈R , P(x,y) (3) ∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y) ⇒ ∀y∈R , ∃x∈R , P(x,y) (逆が成り立たないことも示すこと) (Pf) (1) ∀x∈R , ∀y∈R , P(x,y) ⇔ ∀x∈R [∀y∈R , P(x,y)] ⇔ ∀y∈R , P(X,y) (∀X∈R) ⇔ P(X,Y) (∀X,Y∈R) ⇔ ∀x∈R , P(x,Y) (∀Y∈R) ⇔ ∀y∈R [∀x∈R , P(x,y)] ⇔ ∀y∈R , ∀x∈R , P(x,y) (2) ∃x∈R , ∃y∈R , P(x,y) ⇔ ∃x∈R [∃y∈R , P(x,y)] ⇔ ∃y∈R , P(X,y) (∃X∈R) ⇔ P(X,Y) (∃X,Y∈R) ⇔ ∃x∈R , P(x,Y) (∃y∈R) ⇔ ∃y∈R [∃x∈R , P(x,y)] ⇔ ∃y∈R , ∃y∈R , P(x,y) (3) ∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y) ⇒ ∃x∈R [∀y∈R , P(x,y)] ⇒ ∀y∈R , P(X,y) (∃X∈R) ⇒ ∀y∈R , [P(X,y) (∃X∈R)] ⇒ ∀y∈R [∃x∈R , P(x,y)] ⇒ ∀y∈R , ∃x∈R , P(x,y) 逆が成り立たない例はP(x,y)=(x>y)。 &br; 【例題3】 (∪[n=1→N]An)[c] =∩[n=1→N](An[c])を示せ。 (∪[n=1→N]An)[c] ={x|x∉(∪[n=1→N]An)} ={x|x∈A1又はx∈A2又は ・・・又はx∈Anではない} ={x|x∉A1かつx∉A2かつ ・・・かつx∉An} =∩[n=1→N](An[c]) ※A[c](Aのc乗のような書き方)をAの補集合という。 同様に(∩[n=1→N]An)[c] =∪[n=1→N](An[c]) &br; (E) 最大値と最小値 E∈R , E≠Фのとき &color(red){M=maxE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦M (ii) M∈E}; &color(red){m=minE ⇔ (i) ∀x∈E , m≦x (ii) m∈E}; と定義する。∀はfor allの略。&color(red){「任意の」};などと読む。 ∃はthere existsの略。&color(red){「ある」、「存在する」};など。 &br; Thm11:最大値は存在すれば唯1つである。 (Pf) E⊂R , E≠Фとし、 α=maxE , β=maxE , α≠βと仮定。 [i] α<βのとき β∈Eより、α=maxEに反する。 [ii] β<αのとき α∈Eより、β=maxEに反する。 [i],[ii]より、α=βである。 &br; 【例題4】 max(0,1)は存在しないことを示せ。 (Pf) M=max(0,1)となる Mが存在すると仮定すると、 (i) ∀x∈(0,1) , x≦M , (ii) M∈(0,1) が成り立つ。0<M<(M+1)/2<1より (M+1)/2∈(0,1)であり、∃x∈(0,1) s.t. M<x。 これは(i)に反するからmax(0,1)は存在しない。 &br; 【例題5】 自然数に最大値、最小値があれば求めよ。 ただし、0は自然数に含めないこととする。 自然数に最大値Mが存在すると仮定すると (i) ∀x∈N , x≦M (ii) M∈N が成り立つ。M<M+1∈Nより、(i)は不適。 よって、自然数に最大値は存在しない。 自然数に最小値mが存在すると仮定すると (iii) ∀x∈N , m≦x (iv) m∈N が成り立つ。m=1のとき、(iii),(iv)を 同時に満たすので自然数の最小値は1。 &br; E∈R , E≠Фのとき &color(red){Eは上に有界 ⇔ ∃α∈R s.t. ∀x∈E , x≦α}; &color(red){Eは下に有界 ⇔ ∃β∈R s.t. ∀x∈E , β≦x}; &color(red){U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a} ⇔ supE=minU(E)}; &color(red){U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x} ⇔ infE=maxU(E)}; と定義する。supEをEの上限、infEをEの下限という。 &br; Thm11:E⊂R , E≠Ф , U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a}のとき &color(red){α=supE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α}; &color(red){(ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x}; が成り立つ。 (Pf) α=supE ⇔ α=minU(E) ⇔ (i) α∈U(E) (ii) β∈U(E) ⇒ α≦β ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) β<α ⇒ β∉U(E) ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) β<α ⇒ ∃x∈E s.t. β<x ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x &br; Thm12:E⊂R , E≠Ф , U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x}のとき &color(red){α=infE ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x}; &color(red){(ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε}; が成り立つ。 (Pf) α=infE ⇔ α=maxU(E) ⇔ (i) α∈U(E) (ii) β∈U(E) ⇒ β≦α ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) α<β ⇒ β∉U(E) ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) α<β ⇒ ∃x∈E s.t. x<β ⇔ (i) ∀x∈E , α≦x (ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε &br; Thm13:E⊂R , E≠Ф , Eは上に有界のときsupE=-inf(-E)。 (Pf) α=supE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦α (ii) ∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x ⇔ (i) ∀(-x)∈(-E) , -x≧-α (ii) ∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -α+ε>-x ⇔ (i) ∀(-x)∈(-E) , -α≦-x (ii) ∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -x<-α+ε ⇔ -α=inf(-E) ⇔ α=-inf(-E) ※これより、infE=-sup(-E)も成り立つ。 &br; 実数の連続性の公理:&color(red){上に有界な集合は}; &color(red){上限を持ち、下に有界な集合は下限を持つ。}; &br; アルキメデスの原理1:Nは上に有界ではない. (Pf) Nが上に有界であると仮定すると、実数の連続性より α=supNが存在する。あるm∈Nをとると α-1<m ... (i) m+1∈Nより、m+1≦α ... (ii) (i),(ii)は矛盾するのでNは上に有界ではない。 &br; アルキメデスの原理2:∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b (Pf) ∀a,b>0 , ∀n∈N , na≦bと仮定すると、 E={na|a>0,n∈N}は 上に有界であるから実数の連続性より α=supEが存在し、あるn0∈Nをとると α-a<n0a ... (i) (n0+1)a∈Eより、(n0+1)a≦α ... (ii) (i),(ii)は矛盾するので仮定は誤りである。 &br; *関数の極限の定義 [#y47ec42f] &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=A}; &color(red){⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε}; &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=∞}; &color(red){⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)>K}; &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=-∞}; &color(red){⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)<-K}; &br; 【例題1】 lim[x→1](2x+1)=3を示せ。 解説:f(x)=2x+1とする。任意のε>0に対して |f(x)-3|=2|x-1|<ε ⇔ |x-1|<ε/2より 上記の定義においてδ(ε)=ε/2とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x0|<δ(ε) , |f(x)-3|<ε。 &br; 【例題2】 lim[x→0]√|x|=0を示せ。 解説:f(x)=√|x|とする。任意のε>0に対して |f(x)-0|=√|x|<ε ⇔ |x|<ε²より 上記の定義においてδ(ε)=ε²とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-0|<δ(ε) , |f(x)-0|<ε。 &br; 【例題3】 lim[x→0](1/|x|)=∞を示せ。 解説:f(x)=1/|x|とする。任意のK>0に対して f(x)>K ⇔ |x|<1/Kであるから 上記の定義においてδ(K)=1/Kとおけば ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f) s.t. |x-0|<δ(K) , f(x)>K。 &br; 定理1: &color(red){lim[x→x0]f(x)=A ⇔ ∀{x[n]} s.t.}; &color(red){lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) , lim[n→∞]f(x[n])=A}; &br; 定理1の証明: 【必要性】 lim[x→x₀]f(x)=A ⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε。 また、lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) ⇔ ∀δ(ε)>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀n≧N(δ(ε)) , 0<|x[n]-x₀|<δ(ε)より ∀ε>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀x[n]∈D(f) s.t. n≧N(δ(ε)) , |f(x[n])-A|<ε。 &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; |