デュラチャ大学数学 のバックアップ差分(No.2)
(∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y)は真) ではない =∃x∈R [∀y∈R , P(x,y)は真] ではない =∀x∈R [[∀y∈R , P(x,y)は真] ではない] =∀x∈R [∃y∈R , P(x,y)は偽] =∀x∈R , ∃y∈R , P(x,y)は偽 同様にして (∀x∈R , ∃y∈R , P(x,y)は真) ではない =∃x∈R , ∀y∈R , P(x,y)は偽 関数の極限: lim[x→x₀]f(x)=A ⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε 「∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b」ではない ⇔∀a,b>0[∃n∈N s.t. na>b]ではない ⇔∀a,b>0[∃n∈N[na>b]]ではない ⇔∃a,b>0[∃n∈N[na>b]ではない] ⇔∃a,b>0[∀n∈N[na>bではない]] ⇔∃a,b>0[∀n∈N[na≦b]] ⇔∃a,b>0[∀n∈N , na≦b] ⇔∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b ∀x∈R , ∃y∈R , x<yは真である. ∵y=x+1をとればy∈Rでx<y . ∃x∈R , ∀y∈R , x<yは偽である. ∵y=x-1をとればy∈Rでx>y . (∪[n=1→N]An)[c] ={x|x∉(∪[n=1→N]An)} ={x|x∈A1又はx∈A2又は ...又はx∈Anではない} ={x|x∉A1かつx∉A2かつ ...かつx∉An} =∩[n=1→N](An[c]) 同様にして (∩[n=1→N]An)[c] =∪[n=1→N](An[c]) E∈R , E≠Фのとき M=maxE ⇔ (i) ∀x∈E , x≦M (ii) M∈E m=minE ⇔ (i) ∀x∈E , m≦x (ii) m∈E Eは上に有界 ⇔∃α∈R s.t. ∀x∈E , x≦α Eは下に有界 ⇔∃β∈R s.t. ∀x∈E , β≦x 最大値は存在すれば唯1つである. (証明) E⊂R , E≠Фとし、 α=maxE , β=maxE , α≠βと仮定. [i] α<βのとき β∈Eより、α=maxEに反する. [ii] β<αのとき α∈Eより、β=maxEに反する. [i] , [ii]より、α=βである. max(0,1)は存在しない. (証明) M=max(0,1)となる Mが存在すると仮定すると、 (i) ∀x∈(0,1) , x≦M (ii) M∈(0,1) が成り立つ. 0<M<(M+1)/2<1より (M+1)/2∈(0,1)であり、 ∃x∈(0,1) s.t. M<x . これは(i)に反するから max(0,1)は存在しない. E⊂R , E≠Фのとき U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a} ⇔ supE=minU(E) , U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x} ⇔ infE=maxU(E) . E⊂R , E≠Ф , U(E)={a∈R|∀x∈E , x≦a} のときα=supE ⇔ (∀x∈E , x≦α)∧ (∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x) (証明) α=supE ⇔ α=minU(E) ⇔ (α∈U(E))∧(β∈U(E)⇒α≦β) ⇔ (∀x∈E , x≦α)∧ (β<α⇒β∉U(E)) ⇔ (∀x∈E , x≦α)∧ (β<α⇒∃x∈E s.t. β<x) ⇔ (∀x∈E , x≦α)∧ (∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x) E⊂R , E≠Ф , U(E)={a∈R|∀x∈E , a≦x} のときα=infE ⇔ (∀x∈E , α≦x)∧ (∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε) (証明) α=infE ⇔ α=maxU(E) ⇔ (α∈U(E))∧(β∈U(E)⇒β≦α) ⇔ (∀x∈E , α≦x)∧ (α<β⇒β∉U(E)) ⇔ (∀x∈E , α≦x)∧ (α<β⇒∃x∈E s.t. x<β) ⇔ (∀x∈E , α≦x)∧ (∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<α+ε) E⊂R , E≠Ф , Eは上に有界のとき supE=-inf(-E) (証明) α=supE ⇔ (∀x∈E , x≦α)∧ (∀ε>0 , ∃x∈E s.t. α-ε<x) ⇔ (∀(-x)∈(-E) , -x≧-α)∧ (∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -α+ε>-x) ⇔ (∀(-x)∈(-E) , -α≦-x)∧ (∀ε>0 , ∃(-x)∈(-E) s.t. -x<-α+ε) ⇔ -α=inf(-E) ⇔ α=-inf(-E) アルキメデスの原理︰ Nは上に有界ではない. (証明) Nが上に有界であると 仮定すると、実数の連続性より α=supNが存在する. あるm∈Nをとると α-1<m ... (i) m+1∈Nより m+1≦α ... (ii) (i) , (ii)は矛盾するので Nは上に有界ではない. アルキメデスの原理︰ ∀a,b>0 , ∃n∈N s.t. na>b (証明) ∃a,b>0 s.t. ∀n∈N , na≦b と仮定すると、E={na|a>0,n∈N}は 上に有界であるから 実数の連続性よりα=supEが 存在し、あるn0∈Nをとると α-a<n0a ... (i) (n0+1)a∈Eより (n0+1)a≦α ... (ii) (i) , (ii)は矛盾するので 仮定は誤りである. 有理数の稠密性︰任意の異なる 2つの実数の間には有理数が存在. (証明) α<βとする。1/(β-α)<nを 満たすn∈Nがあり、nαと-nαを ともに超えるm∈Nも存在する. -m<nα<mより、-m , -m+1 , ... , m-1 , mのうちnαを初めて 超えるものをkとするとk-1≦nα<k . よって、α<k/n≦α+(1/n)<α+β-α=β . ∴ α<k/n<β E={1+(1/n)|n∈N}の 上限と下限を求めよ. (解答例) x=1+(1/n0) (n0∈N) をとると、1+(1/n0)≦2より ∀x∈E , x≦2 , 2∈Eであるから maxEとsupEが存在し、 supE=maxE=2 . 1<1+(1/n0)が成り立つ. ∀ε>0をとると、 アルキメデスの原理より 1/ε<n0となるn0∈Nが存在. ∴ 1+(1/n0)<1+ε (∀x∈E , 1≦x)∧ (∀ε>0 , ∃x∈E s.t. x<1+ε)より infEが存在し、infE=1 . E=(0,1)の上界集合U(E) および上限を求めよ. (解答例) α≧1⇒∀x∈E , x<α , 0<α<1⇒∃x∈E s.t. 0<α<x<1 , (∵有理数の中密性) α≦0⇒∀x∈E , α<xより ∴ U(E)={α∈R|∀x∈E , x≦α} =[1,∞) , supE=minU(E)=1 数列の極限︰ lim[n→∞]a[n]=α ⇔ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε a[n]=1/n ⇒ lim[n→∞]a[n]=0 (証明) アルキメデスの原理より ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 1/ε<N(ε) , ∀n≧N(ε) , |(1/n)-0| =|1/n|=1/n≦1/N(ε)<ε . よって、lim[n→∞]a[n]=0 . a[n]=(3n-2)/(2n+1) ⇒ lim[n→∞]a[n]=3/2 (証明) |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)| =|{2(3n-2)-3(2n+1)}/{2(2n+1)}| =7/{2(2n+1)}<4/n . アルキメデスの原理より ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 4/ε<N(ε) , ∀n≧N(ε) , |{(3n-2)/(2n+1)} - (3/2)| <4/n≦4/{N(ε)}<ε . よって、lim[n→∞]a[n]=3/2 . a[n]=(√n)^(1/n) (n∈N) ⇒ lim[n→∞]a[n]=1 (証明) (√n)^(1/n)≧1より (√n)^(1/n)=1+xとおくとx≧0 . n=(1+x)^n≧1+nx+ ({n(n-1)}/2)x²>({n(n-1)}/2)x² . |(√n)^(1/n)-1|²=x²<2/(n-1) . ∴ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. 2/{N(ε)-1}<ε² , ∀n≧N(ε) , |(√n)^(1/n)-1|<√{2/(n-1)} <(2/{N(ε)-1})<ε ∴ lim[n→∞]a[n]=1 lim[n→∞]a[n]=α , b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k] ⇒ lim[n→∞]b[n]=α (証明) ∀ε>0 , ∃N(ε),N(ε)’∈N s.t. (n>N(ε) ⇒|a[n]-α|<ε)∧ ((1/ε)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|<N(ε)’) , ∀n>N(ε) s.t. n≧N(ε)’ , |b[n]-α|=|(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α| =|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)| ≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α| =(1/n)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|+ (1/n)Σ[k=N(ε)+1→n]|a[k]-α| <(1/n)Σ[k=1→N(ε)]|a[k]-α|+ ({(n-N(ε)}/n)・ε<ε+ε=2ε . (証明2) ∀ε>0 , ∃N(ε),N(ε)’∈N s.t. (n>N(ε)’ ⇒|a[n]-α|<ε)∧ ((1/ε)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|<N(ε)) , ∀n≧N(ε) s.t. n>N(ε)’ , |b[n]-α|=|(1/n)Σ[k=1→n]a[k]-α| =|(1/n)Σ[k=1→n](a[k]-α)| ≦(1/n)Σ[k=1→n]|a[k]-α| =(1/n)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|+ (1/n)Σ[k=N(ε)’+1→n]|a[k]-α| <(1/n)Σ[k=1→N(ε)’]|a[k]-α|+ ({(n-N(ε)’}/n)・ε<ε+ε=2ε . lim[n→∞]a[n]=∞ ⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K lim[n→∞]a[n]=-∞ ⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]<-K lim[n→∞]a[n]=∞ , b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k] ⇒ lim[n→∞]b[n]=∞ (証明) ∃n’∈N s.t. Σ[k=1→n’]a[k]>0 , ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) s.t. n>n’ , b[n]=(1/n)Σ[k=1→n]a[k] =(1/n)Σ[k=1→n’]a[k]+ (1/n)Σ[k=n’+1→n]a[k] >(1/n)Σ[k=n’+1→n]a[k] >{(n-n’)/n}・K a[n]>0のとき lim[n→∞]a[n]=∞ ⇔ lim[n→∞](1/a[n])=0 (証明) lim[n→∞]a[n]=∞ ⇔ ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]>K ⇔ ∀(1/K)>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , |a[n]-0|=1/(a|n|)<1/K ⇔ lim[n→∞](1/a[n])=0 数列の極限値の一意性︰ a[n]→α , a[n]→β ⇒ α=β (証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧ (∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , ∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |α-β|≦|α-a[n]|+|a[n]-β|<ε+ε=2ε . ∴ α=β 収束する数列は有界. (証明) a[n]→αとする. ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε であるから、ε=1をとると ∃N(1)∈N , ∀n≧N(1) , |a[n]-α|<1 . ∴ |a[n]|=|(a[n]-α)+α|<1+|α| K=max{|a[1]| , |a[2]| , ... ... , |a[N(1)-1]| , 1+|α|} とおくと、∀n∈N , |a[n]|≦K . ∀n∈N , a[n]≦(<)b[n] , a[n]→α , a[n]→β ⇒ α≦β (証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧ (∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , ∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , α-ε<a[n]≦(<)b[n]<β+ε . ∴ α≦β (∵∀ε>0 , α-β<2ε) 数列の極限の性質︰ lim[n→∞]a[n]=α , lim[n→∞]b[n]=βのとき (i) lim[n→∞](a[n]±b[n])=α±β (ii) lim[n→∞](ca[n])=cα (cは定数) (iii) lim[n→∞](a[n]b[n])=αβ (iv) lim[n→∞](b[n]/a[n])=β/α (α≠0) (証明) (i) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧ (∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , ∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |a[n]±b[n]-(α±β)| =|(a[n]-α)±(b[n]-β)| ≦|a[n]-α|+|b[n]-β|<2ε . (ii) c=0のとき、∀ε>0 , ∀n∈N , |ca[n]-cα|=0<ε . c≠0のとき、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |ca[n]-cα|=|c(a[n]-α)|≦|c||a[n]-α|<|c|ε . (iii) 収束する数列は有界より ∃K>0 s.t. ∀n∈N , |b[n]|<K . そこで、(∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧ (∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , |a[n]-β|<ε)より ∀ε>0 , ∃max{N1(ε/(2K)), N2(ε/(2|α|))}∈N , ∀n≧max{N1(ε/(2K)),N2(ε/(2|α|))} , |a[n]b[n]-αβ|=|(a[n]-α)b[n]+α(b[n]-β)| ≦|a[n]-α||b[n]|+|α||b[n]-β| <{ε/(2K)}・K+|α|・{ε/(2|α|)}<ε . (iv) lim[n→∞]{1/(a[n])}=1/αを示せば良い. ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<εより このときε=|α|/2>0をとると |a[n]-α|<|α|/2であり |a[n]|=|α-(α-a[n])| ≧|α|-|α-a[n]|>|α|/2となるから ∀ε>0 , ∃max(N(|α|/2), N((|α|/2)・|α|・ε))∈N , ∀n≧max(N(|α|/2), N((|α|/2)・|α|・ε)) , |(1/a[n])-(1/α)|=|α-a[n]|/(|a[n]||α|) <{(|α|/2)・|α|・ε}/(|α|/2・|α|)=ε . lim[n→∞]a[n]=αのとき、 (i) {a[n]+b[n]}が収束する ならば{b[n]}も収束. (ii) {a[n]b[n]}が収束して、 α≠0ならば{b[n]}も収束. (証明1) (i) lim[n→∞](a[n]+b[n])=βとすると (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧ (∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , |a[n]+b[n]-β|<ε)より ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , ∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |b[n]-(β-α)|=|(α-a[n])+(a[n]+b[n]-β)| ≦|a[n]-α|+|a[n]+b[n]-β|<ε+ε=2ε . (ii) lim[n→∞]a[n]=α (α≠0) より ∃N1(|α|/2)∈N , ∀n≧N1(|α|/2) , |a[n]-α|<|α|/2となり、このとき |a[n]|=|α-(α-a[n])|≧|α|-|α-a[n]| >|α|-(|α|/2)=|α|/2 . lim[n→∞](a[n]b[n])=γとすると ∀ε>0 , ∃N3(ε)∈N , ∀n≧N3(ε) , |a[n]b[n]-γ|<ε . ∴ ∀ε>0 , ∃max{N1((|α|/4)ε), N2(|α|²/(4|γ|))}∈N , ∀n≧max{N1((|α|/4)ε), N2(|α|²/(4|γ|))}∈N , |b[n]-(γ/α)|=|{(a[n]b[n])/(a[n])} - (γ/α)| =|αa[n]b[n]-γa[n]|/(|a[n]||α|) =|α(a[n]b[n]-γ)+γ(α-a[n])|/(|a[n]||α|) ≦(|α||a[n]b[n]-γ|+|γ||a[n]-α|)/(|a[n]||α|) <{|α|・(|α|/4)ε+|γ|・{|α|²/(4|γ|)}ε} /{(|α|/2)・|α|}={(|α|²/2)ε}/(|α|²/2)=ε . (証明2) (i) lim[n→∞](a[n]+b[n])=βとすると lim[n→∞]b[n] =lim[n→∞]{(a[n]+b[n])-a[n]}=β-α . (ii) lim[n→∞]a[n]=α (α≠0) より ∃N1(|α|)∈N , ∀n≧N1(|α|) , |a[n]-α|<|α|であり、 このとき|a[n]|=|α-(α-a[n])| ≧|α|-|α-a[n]|>|α|-|α|=0 . ∴∀n≧N1(|α|) , a[n]≠0 . lim[n→∞](a[n]b[n])=γとすると lim[n→∞]b[n] =lim[n→∞]{(a[n]b[n])/(a[n])=γ/α . はさみうちの原理︰ ∀n∈N , a[n]≦b[n]≦c[n] , (lim[n→∞]a[n]=α)∧ (lim[n→∞]c[n]=α) ⇒ lim[n→∞]b[n]=α (証明) (∀ε>0 , ∃N1(ε)∈N , ∀n≧N1(ε) , |a[n]-α|<ε)∧ (∀ε>0 , ∃N2(ε)∈N , ∀n≧N2(ε) , |c[n]-α|<ε)より ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , ∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , α-ε<a[n]≦b[n]≦c[n]<α+ε . ∴ ∀ε>0 , ∃max{N1(ε),N2(ε)}∈N , ∀n≧max{N1(ε),N2(ε)} , |b[n]-α|<ε . ∀n∈N , a[n]≦b[n] , lim[n→∞]a[n]=∞ ⇒ lim[n→∞]b[n]=∞ (証明) 仮定より ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , b[n]≧a[n]>K . ∀n∈N , a[n]≦b[n] , lim[n→∞]b[n]=-∞ ⇒ lim[n→∞]a[n]=-∞ (証明) 仮定より ∀K>0 , ∃N(K)∈N , ∀n≧N(K) , a[n]≦b[n]<-K . {a[n]}は(単調)増加列 ⇔ ∀n∈N , a[n]≦a[n+1] {a[n]}は(単調)減少列 ⇔ ∀n∈N , a[n]≧a[n+1] {a[n]}は単調数列 ⇔ {a[n]}は増加列または減少列 ∀α∈Rに対し、αに収束する 増加列{r[n]}が存在する. (証明) ∀n∈N , ∃r[n]∈Q s.t. α-(1/n)<r[n]<α - {1/(n+1)} . このとき、r[n]<α - {1/(n+1)}<r[n+1] より{r[n]}は増加列であり α-(1/n)→α , α - {1/(n+1)}→α . ∴ r[n]→α . 上に有界な増加列は収束する. (証明) {a[n]}を上に有界な増加列 とするとα=sup{a[n]}が存在する. このとき、∃N(ε)∈N s.t. α-ε<a[N(ε)]≦α<α+ε . ∴ ∀ε>0 , ∃N(ε)∈N s.t. α-ε<a[N(ε)]<α+ε , ∀n≧N(ε) , |a[n]-α|<ε . (下に有界な減少列も 同様のやり方で示せる. また、 ある番号から先だけ単調でも良い.) {a[n]}に対して、 lim[n→∞](|a[n+1]|/|a[n]|)=c が存在するとき [i] 0≦c<1 ⇒ a[n]→0 [ii] 1<c ⇒ a[n]→∞ が成り立つ. (証明) (i) 仮定より、∀ε>0 , ∃N(ε)∈N , ∀n≧N(ε) , |a[n+1]|/|a[n]|<c’+ε . c<c’<1を満たすc’をとると |a[n+1]|<c’|a[n]<|a[n]|より n≧N(ε)で{|a[n]|}は単調減少. また、|a[n]|≧0より{a[n]}は収束. |a[n]|→αとすると0≦α . |a[n+1]|<c’|a[n]|でn→∞とすると α≦c’α . 背理法によりα≦0 . よって、α=0 . (ii) b[n]=1/|a[n]|とおくと lim[n→∞](b[n+1]/b[n]) =lim[n→∞](|a[n]|/|a[n+1]|) =1/c<1より(i)からb[n]→0 . よって、|a[n]|→∞ . a[n]={1+(1/n)}ⁿは収束する. (証明) a[n]=Σ[k=1→n](nCk)(1/n) |