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> デュラチャ数学(中学レベル)
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デュラチャ数学(中学レベル)
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中学生のデュラチャ民をお助けします。 2019年に完成予定です。 あなたは、&color(red){&counter(total);};番目のお客様です。 今日は、&color(red){&counter(today);};人のお客様が訪問しました。 昨日は、&color(red){&counter(yesterday);};人のお客様が訪問しました。 &br; *目次[#l4ca97a5] &br; [[展開>#s0591411]] &br; [[因数分解>#b69ede33]] &br; [[平方根>#s3704e61]] &br; [[コメント欄>#rb63a000]] &br; *展開 [#s0591411] &br; 単項式と多項式の積,または多項式同士の積を 1つの多項式で表すことを&color(red){展開};という。 ※+や-の演算記号を含まない式を単項式といい, 単項式の和で表される式を多項式という。 &br; 【例題1】 3(x-2)を展開せよ。 解説:分配法則a(b-c)=ab-acより,3(x-2)=3x-6 &br; 次に多項式同士の積について考えてみよう。 (a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。 &br; (a+b)(c+d) =e(c+d) =ec+ed =(a+b)c+(a+b)d =ac+bc+ad+bd =ac+ad+bc+bd &br; これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。 &br; (x+a)(x+b) =x²+bx+ax+ab =x²+(a+b)x+ab &br; (x+a)² =(x+a)(x+a) =x²+ax+ax+a² =x²+2ax+a² &br; (x-a)² =(x-a)(x-a) =x²-ax-ax+a² =x²-2ax+a² &br; (x+a)(x-a) =x²-ax+ax-a² =x²-a² &br; 展開の公式: &color(red){(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab}; &color(red){(x+a)²=x²+2ax+a²}; &color(red){(x-a)²=x²-2ax+a²}; &color(red){(x+a)(x-a)=x²-a²}; &br; 【例題2】 4(x+1)(x-2)を展開せよ。 解説:4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2) =4(x²-x-2)=4x²-4x-8 &br; 【例題3】 (x+6)²を展開せよ。 解説:(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36 &br; 【例題4】 2(x-3)²を展開せよ。 解説:2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²) =2(x²-6x+9)=2x²-12x+18 &br; 【例題5】 (x+7)(x-7)を展開せよ。 解説:(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49 &br; 【例題6】 (3x-4)(5x+3)を展開せよ。 解説:(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12 &br; 共通部分をまとめたり,項の順序を入れ替えたり することで簡単に展開できる場合がある。 &br; 【例題6】 (x+y-2)(x+y+5)を展開せよ。 解説:(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5} =(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10 =x²+2xy+y²+3x+3y-10 &br; 【例題7】 (x+4)²(x-4)²を展開せよ。 解説:(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4) ={(x+4)(x-4)}²={(x²-4²)}²=(x²-16)² =(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256 &br; 【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)を展開せよ。 解説: (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) =(a²+b²+ab)(a²+b²-ab) ={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab} =(a²+b²)²-(ab)² =(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b² =a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴ &br; 作成日:8月14日 最終更新日:8月14日 &br; *因数分解 [#b69ede33] &br; ある多項式を単項式と多項式, または多項式同士の積で表すことを &color(red){因数分解};という。また,ある多項式の 各項に共通に含まれる整数や文字のことを 共通因数といい,共通因数を前に出すことを &color(red){共通因数でくくる};という。一般に,共通因数で くくることで因数分解することができる。 &br; 【例題1】 9a²x+3ax²-6axを因数分解せよ。 解説:9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2) &br; 共通因数が見当たらない場合は, 展開の公式の両辺を入れ替えた 式を利用することで因数分解できる。 &br; 因数分解の公式: &color(red){x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}; &color(red){x²+2ax+a²=(x+a)²}; &color(red){x²-2ax+a²=(x-a)²}; &color(red){x²-a²=(x+a)(x-a)}; &br; 【例題2】 3x²-6x-45を因数分解せよ。 解説:3x²-6x-45=3(x²-2x-15) 足して-2,かけて-15になる2数は 3と-5より,3x²-6x-45=3(x+3)(x-5) &br; 【例題3】 x²+10x+25を因数分解せよ。 解説:x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)² ※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。 &br; 【例題4】 9x²-24ax+16a²を因数分解せよ。 解説:9x²-24ax+16a² =(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)² &br; 【例題5】 2x²-162を因数分解せよ。 解説: 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9) &br; 共通部分を置き換えることで 簡単に因数分解できる場合がある。 &br; 【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10を因数分解せよ。 解説:x-2=aとおくと,(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10 足して-3,かけて-10になる2数は2と-5より, a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7) よって,(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7) &br; 作成日:8月14日 最終更新日:8月14日 &br; *平方根 [#s3704e61] &br; この単元で登場する小文字は全て正とする。 aと-aはまとめて&color(red){±a};と表すことができ, &color(red){プラスマイナスa};と読む。 &br; 【例題1】 2と-2をまとめよ。 解説:2と-2をまとめると±2となる。 &br; 2乗してaになる数を&color(red){aの平方根};という。 aの平方根のうち,負でない方を &color(Red){√a};と表し,&color(Red){ルートa};と読む。 ※0についても同様に考えると 0の平方根は&color(blue){0};であり, &color(blue){0};は負ではないから√0=&color(blue){0};となる。 &br; 【例題2】 16の平方根を求めよ。 また,√9の値を求めよ。 解説:2乗して16になる数は4と-4の 2種類だから16の平方根は±4 2乗して9になる数は3と-3の2種類だが, 負でない方は3だから√9=3 &br; √aは面積がaである正方形の 1辺の長さとも言い換えられる。 よって,次の公式が得られる。 &color(red){(√a)²=a}; 一般に,(-A)²=A²が成り立つから A=√aとおくことで次の公式が得られる。 &color(red){(-√a)²=a}; これより,aの平方根は&color(red){±√a};と表せる。 &br; 【例題3】 17の平方根を求めよ。 解説:17の平方根は±√17 ※例題2においても16の平方根は ±√16と表せるが,√16=4と簡単な数で 表せるので16の平方根は±4となる。 &br; 先ほど,√aは面積がaである正方形の 1辺の長さと説明した。正方形の面積が 大きいほど1辺の長さも大きくなるから &color(red){aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。}; &br; 【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。 解説:√a=5とおくと,両辺を2乗して a=25と求まるから5=√25 √23<√25より,√23<5と求まる。 &br; 公式(√a)²=aを利用すると (√a×√b)²=√a×√b×√a×√b =√a×√a×√b×√b =a×b =ab {√(ab)}²=ab これより,(√a×√b)²={√(ab)}² A²=B²のとき,AとBの符号が一致するなら A=Bが成り立つから次の公式が得られる。 &color(red){√a×√b=√(ab)}; 同様にして次の公式も得られる。 &color(red){(√b)/(√a)=√(b/a)}; &br; 【例題5】 √2×√3を計算せよ。 また,(√15)/(√3)を計算せよ。 解説:√2×√3=√(2×3)=√6 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5 &br; 2,3,5,7のように正の約数が2個しかない 自然数を&color(red){素数};といい,自然数を 素数の積で表すことを&color(red){素因数分解};という。 &br; 【例題6】 60を素因数分解せよ。 解説:60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より, 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5 &br; ある数に√aをかけるとき,&color(red){×を省略できる。}; ここで,公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると √(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a よって,次の公式が得られる。 &color(red){√(k²a)=k√a}; &br; 【例題7】 √48をa√bの形で表せ。 (bはできるだけ小さくすること) 解説:√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3 &br; ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより, xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。 &color(red){a√c+b√c=(a+b)√c}; &color(red){a√c-b√c=(a-b)√c}; ※√の中は足し引きできない。 例えば√4+√9=2+3=5より,√4+√9≠√13 &br; 【例題8】 √18-√8を計算せよ。 解説:√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2 ※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。 &br; 展開や因数分解の公式を 利用すれば複雑な計算もできる。 &br; 【例題9】 {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²- {(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}²を計算せよ。 解説:(7+4√3)⁴=A , (7-4√3)⁴=Bとおくと {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)} =2A×2B=4AB=4(7+4√3)⁴(7-4√3)⁴ =4{(7+4√3)(7-4√3)}⁴=4(49-48)⁴=4 &br; 分数の分母に√を含むとき,分母の√を 分子に移動させることを&color(red){分母の有理化};という。 分母を有理化するには分母と分子に 同じ値をかければ良い。 &br; 【例題10】 1/√20の分母を有理化せよ。 解説:1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5) =(1×√5)/(2√5×√5)=(√5)/(2×5)=(√5)/10 &br; 展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば 分母が複雑な場合も分母を有理化できる。 &br; 【例題11】 1/(√5+√2)の分母を有理化せよ。 解説:1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)} =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3 &br; 作成日:2018年8月7日 最終更新日:2018年8月16日 &br; *コメント欄 [#rb63a000] &br; #pcomment(,10000,reply,,nomove); &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br;
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中学生のデュラチャ民をお助けします。 2019年に完成予定です。 あなたは、&color(red){&counter(total);};番目のお客様です。 今日は、&color(red){&counter(today);};人のお客様が訪問しました。 昨日は、&color(red){&counter(yesterday);};人のお客様が訪問しました。 &br; *目次[#l4ca97a5] &br; [[展開>#s0591411]] &br; [[因数分解>#b69ede33]] &br; [[平方根>#s3704e61]] &br; [[コメント欄>#rb63a000]] &br; *展開 [#s0591411] &br; 単項式と多項式の積,または多項式同士の積を 1つの多項式で表すことを&color(red){展開};という。 ※+や-の演算記号を含まない式を単項式といい, 単項式の和で表される式を多項式という。 &br; 【例題1】 3(x-2)を展開せよ。 解説:分配法則a(b-c)=ab-acより,3(x-2)=3x-6 &br; 次に多項式同士の積について考えてみよう。 (a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。 &br; (a+b)(c+d) =e(c+d) =ec+ed =(a+b)c+(a+b)d =ac+bc+ad+bd =ac+ad+bc+bd &br; これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。 &br; (x+a)(x+b) =x²+bx+ax+ab =x²+(a+b)x+ab &br; (x+a)² =(x+a)(x+a) =x²+ax+ax+a² =x²+2ax+a² &br; (x-a)² =(x-a)(x-a) =x²-ax-ax+a² =x²-2ax+a² &br; (x+a)(x-a) =x²-ax+ax-a² =x²-a² &br; 展開の公式: &color(red){(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab}; &color(red){(x+a)²=x²+2ax+a²}; &color(red){(x-a)²=x²-2ax+a²}; &color(red){(x+a)(x-a)=x²-a²}; &br; 【例題2】 4(x+1)(x-2)を展開せよ。 解説:4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2) =4(x²-x-2)=4x²-4x-8 &br; 【例題3】 (x+6)²を展開せよ。 解説:(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36 &br; 【例題4】 2(x-3)²を展開せよ。 解説:2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²) =2(x²-6x+9)=2x²-12x+18 &br; 【例題5】 (x+7)(x-7)を展開せよ。 解説:(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49 &br; 【例題6】 (3x-4)(5x+3)を展開せよ。 解説:(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12 &br; 共通部分をまとめたり,項の順序を入れ替えたり することで簡単に展開できる場合がある。 &br; 【例題6】 (x+y-2)(x+y+5)を展開せよ。 解説:(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5} =(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10 =x²+2xy+y²+3x+3y-10 &br; 【例題7】 (x+4)²(x-4)²を展開せよ。 解説:(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4) ={(x+4)(x-4)}²={(x²-4²)}²=(x²-16)² =(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256 &br; 【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)を展開せよ。 解説: (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) =(a²+b²+ab)(a²+b²-ab) ={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab} =(a²+b²)²-(ab)² =(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b² =a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴ &br; 作成日:8月14日 最終更新日:8月14日 &br; *因数分解 [#b69ede33] &br; ある多項式を単項式と多項式, または多項式同士の積で表すことを &color(red){因数分解};という。また,ある多項式の 各項に共通に含まれる整数や文字のことを 共通因数といい,共通因数を前に出すことを &color(red){共通因数でくくる};という。一般に,共通因数で くくることで因数分解することができる。 &br; 【例題1】 9a²x+3ax²-6axを因数分解せよ。 解説:9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2) &br; 共通因数が見当たらない場合は, 展開の公式の両辺を入れ替えた 式を利用することで因数分解できる。 &br; 因数分解の公式: &color(red){x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}; &color(red){x²+2ax+a²=(x+a)²}; &color(red){x²-2ax+a²=(x-a)²}; &color(red){x²-a²=(x+a)(x-a)}; &br; 【例題2】 3x²-6x-45を因数分解せよ。 解説:3x²-6x-45=3(x²-2x-15) 足して-2,かけて-15になる2数は 3と-5より,3x²-6x-45=3(x+3)(x-5) &br; 【例題3】 x²+10x+25を因数分解せよ。 解説:x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)² ※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。 &br; 【例題4】 9x²-24ax+16a²を因数分解せよ。 解説:9x²-24ax+16a² =(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)² &br; 【例題5】 2x²-162を因数分解せよ。 解説: 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9) &br; 共通部分を置き換えることで 簡単に因数分解できる場合がある。 &br; 【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10を因数分解せよ。 解説:x-2=aとおくと,(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10 足して-3,かけて-10になる2数は2と-5より, a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7) よって,(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7) &br; 作成日:8月14日 最終更新日:8月14日 &br; *平方根 [#s3704e61] &br; この単元で登場する小文字は全て正とする。 aと-aはまとめて&color(red){±a};と表すことができ, &color(red){プラスマイナスa};と読む。 &br; 【例題1】 2と-2をまとめよ。 解説:2と-2をまとめると±2となる。 &br; 2乗してaになる数を&color(red){aの平方根};という。 aの平方根のうち,負でない方を &color(Red){√a};と表し,&color(Red){ルートa};と読む。 ※0についても同様に考えると 0の平方根は&color(blue){0};であり, &color(blue){0};は負ではないから√0=&color(blue){0};となる。 &br; 【例題2】 16の平方根を求めよ。 また,√9の値を求めよ。 解説:2乗して16になる数は4と-4の 2種類だから16の平方根は±4 2乗して9になる数は3と-3の2種類だが, 負でない方は3だから√9=3 &br; √aは面積がaである正方形の 1辺の長さとも言い換えられる。 よって,次の公式が得られる。 &color(red){(√a)²=a}; 一般に,(-A)²=A²が成り立つから A=√aとおくことで次の公式が得られる。 &color(red){(-√a)²=a}; これより,aの平方根は&color(red){±√a};と表せる。 &br; 【例題3】 17の平方根を求めよ。 解説:17の平方根は±√17 ※例題2においても16の平方根は ±√16と表せるが,√16=4と簡単な数で 表せるので16の平方根は±4となる。 &br; 先ほど,√aは面積がaである正方形の 1辺の長さと説明した。正方形の面積が 大きいほど1辺の長さも大きくなるから &color(red){aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。}; &br; 【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。 解説:√a=5とおくと,両辺を2乗して a=25と求まるから5=√25 √23<√25より,√23<5と求まる。 &br; 公式(√a)²=aを利用すると (√a×√b)²=√a×√b×√a×√b =√a×√a×√b×√b =a×b =ab {√(ab)}²=ab これより,(√a×√b)²={√(ab)}² A²=B²のとき,AとBの符号が一致するなら A=Bが成り立つから次の公式が得られる。 &color(red){√a×√b=√(ab)}; 同様にして次の公式も得られる。 &color(red){(√b)/(√a)=√(b/a)}; &br; 【例題5】 √2×√3を計算せよ。 また,(√15)/(√3)を計算せよ。 解説:√2×√3=√(2×3)=√6 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5 &br; 2,3,5,7のように正の約数が2個しかない 自然数を&color(red){素数};といい,自然数を 素数の積で表すことを&color(red){素因数分解};という。 &br; 【例題6】 60を素因数分解せよ。 解説:60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より, 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5 &br; ある数に√aをかけるとき,&color(red){×を省略できる。}; ここで,公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると √(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a よって,次の公式が得られる。 &color(red){√(k²a)=k√a}; &br; 【例題7】 √48をa√bの形で表せ。 (bはできるだけ小さくすること) 解説:√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3 &br; ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより, xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。 &color(red){a√c+b√c=(a+b)√c}; &color(red){a√c-b√c=(a-b)√c}; ※√の中は足し引きできない。 例えば√4+√9=2+3=5より,√4+√9≠√13 &br; 【例題8】 √18-√8を計算せよ。 解説:√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2 ※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。 &br; 展開や因数分解の公式を 利用すれば複雑な計算もできる。 &br; 【例題9】 {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²- {(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}²を計算せよ。 解説:(7+4√3)⁴=A , (7-4√3)⁴=Bとおくと {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)} =2A×2B=4AB=4(7+4√3)⁴(7-4√3)⁴ =4{(7+4√3)(7-4√3)}⁴=4(49-48)⁴=4 &br; 分数の分母に√を含むとき,分母の√を 分子に移動させることを&color(red){分母の有理化};という。 分母を有理化するには分母と分子に 同じ値をかければ良い。 &br; 【例題10】 1/√20の分母を有理化せよ。 解説:1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5) =(1×√5)/(2√5×√5)=(√5)/(2×5)=(√5)/10 &br; 展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば 分母が複雑な場合も分母を有理化できる。 &br; 【例題11】 1/(√5+√2)の分母を有理化せよ。 解説:1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)} =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3 &br; 作成日:2018年8月7日 最終更新日:2018年8月16日 &br; *コメント欄 [#rb63a000] &br; #pcomment(,10000,reply,,nomove); &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br;