Comments/アド★彡 のバックアップソース(No.8)
[[アド★彡]] -&br; *実数 [#q84a08bc] &br; (A) 四則演算 a,b∈Rに対して、a+b,a-b,ab,b/a(a≠0)が Rの中に存在し、和、積に関して 交換律、結合律、分配律が成り立つ。 &br; (B) 大小関係 a,b∈Rに対して、a=b,a<b,b<aの いずれかが成り立ち、次の性質を満たす。 (1) a<b かつ b<c ⇒ a<c (2) a<b ⇒ ∀c∈R , a+c<b+c (3) a<b ⇒ ∀c>0 , ac<bc ※⇒は必ずしも逆が成り立たないことを 意味するわけではないので注意。 (2),(3)においては⇔でも良いが 伝えたい性質は⇒の方である。 &br; (C) 絶対値 Def:&color(red){|x|=max{x,-x}}; &br; x,y∈RのときThm1~Thm7が成り立つ。 &br; Thm1:|x|=x(x≧0),-x(x<0) (Pf) x≧0 ⇒ -x≦0≦x ⇒ |x|=max{x,-x}=x x<0 ⇒ x<0<-x ⇒ |x|=max{x,-x}=-x ※|x|=-x(x≦0)も当然成り立つ。 &br; Thm2:|x|≧x,|x|≧-x (Pf) x≧0 ⇒ |x|=x≧x x<0 ⇒ |x|=-x>0>x ∴|x|≧x x≧0 ⇒ |x|=x≧0≧-x x<0 ⇒ |x|=-x≧-x ∴|x|≧-x &br; Thm3:|x|=|-x| (Pf) |x|=max{x,-x}=max{-x,x}=max{-x,-(-x)}=|-x| &br; Thm4:|xy|=|x||y| (Pf) x≧0,y≧0 ⇒ |xy|=xy=|x||y| x≧0,y<0 ⇒ |xy|=-xy=x(-y)=|x||y| x<0,y≧0 ⇒ |xy|=-xy=(-x)y=|x||y| x<0,y<0 ⇒ |xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y| &br; Thm5:|y/x|=|y|/|x|(x≠0) (Pf) x>0,y≧0 ⇒ |y/x|=y/x=|y|/|x| x>0,y<0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=(-y)/x=|y|/|x| x<0,y≧0 ⇒ |y/x|=-(y/x)=y/(-x)=|y|/|x| x<0,y<0 ⇒ |y/x|=y/x=(-y)/(-x)=|y|/|x| &br; Thm6:|x|²=x² (Pf) x≧0 ⇒ |x|=x ⇒ |x|²=x² x<0 ⇒ |x|=-x ⇒ |x|²=(-x)²=x² &br; Thm7:||x|-|y||≦|x±y|≦|x|+|y| (Pf) |x±y|²-||x|-|y||²=(x±y)²-(|x|-|y|)² =x²±2xy+y²-(x²-2|xy|+y²)=2(|xy|±xy)≧0 ∴||x|-|y||≦|x±y| (∵|x±y|≧0,||x|-|y||≧0) (|x|+|y|)²-|x±y|²=(|x|+|y|)²-(x±y)² =x²+2|xy|+y²-(x²±2xy+y²)=2(|xy|∓xy)≧0 ∴|x±y|≦|x|+|y| (∵|x|+|y|≧0,|x±y|≧0) ※A²-B²≧0(A≧0,B≧0)⇒A≧B (Pf) A²-B²≧0(A≧0,B≧0) ⇒ (A+B)(A-B)≧0(A+B≧0) ⇒ A-B≧0 ⇒ A≧B &br; Thm9ではa≧0とする。(Thm8では直ちに成立) &br; Thm8:|x|≦a ⇔ -a≦x≦a (Pf) |x|≦a(x≧0) ⇒ -a≦0≦x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a |x|≦a(x<0) ⇒ -a≦0≦-x=|x|≦a ⇒ -a≦x≦a ∴|x|≦a ⇒ -a≦x≦a &color(black){-};a≦x≦a(x≧0) ⇒ |x|=x≦a &color(black){-};a≦x≦a(x<0) ⇒ -a≦-x≦a ⇒ |x|=-x≦a ∴-a≦x≦a ⇒ |x|≦a &br; Thm9:|x|≧a ⇔ x≦-a,a≦x (Pf) |x|≧a(x≧0) ⇒ |x|=x≧a |x|≧a(x<0) ⇒ |x|=-x≧a ⇒ x≦-a ∴|x|≧a ⇒ x≦-a,a≦x a≦x ⇒ |x|=x≧a x≦-a ⇒ |x|=-x≧a ∴x≦-a,a≦x ⇒ |x|≧a &br; Thm10:|x-α|≦β ⇔ α-β≦x≦α+β (Pf) |x-α|≦β ⇔ -β≦x-α≦β ⇔ α-β≦x≦α+β &br; &br; *関数の極限の定義 [#y47ec42f] &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=A}; &color(red){⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε}; &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=∞}; &color(red){⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)>K}; &br; &color(red){lim[x→x₀]f(x)=-∞}; &color(red){⇔ ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f)}; &color(red){s.t. 0<|x-x₀|<δ(K) , f(x)<-K}; &br; 【例題1】 lim[x→1](2x+1)=3を示せ。 解説:f(x)=2x+1とする。任意のε>0に対して |f(x)-3|=2|x-1|<ε ⇔ |x-1|<ε/2より 上記の定義においてδ(ε)=ε/2とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x0|<δ(ε) , |f(x)-3|<ε。 &br; 【例題2】 lim[x→0]√|x|=0を示せ。 解説:f(x)=√|x|とする。任意のε>0に対して |f(x)-0|=√|x|<ε ⇔ |x|<ε²より 上記の定義においてδ(ε)=ε²とおけば ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-0|<δ(ε) , |f(x)-0|<ε。 &br; 【例題3】 lim[x→0](1/|x|)=∞を示せ。 解説:f(x)=1/|x|とする。任意のK>0に対して f(x)>K ⇔ |x|<1/Kであるから 上記の定義においてδ(K)=1/Kとおけば ∀K>0 , ∃δ(K)>0 , ∀x∈D(f) s.t. |x-0|<δ(K) , f(x)>K。 &br; 定理1: &color(red){lim[x→x0]f(x)=A ⇔ ∀{x[n]} s.t.}; &color(red){lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) , lim[n→∞]f(x[n])=A}; &br; 定理1の証明: 【必要性】 lim[x→x₀]f(x)=A ⇔ ∀ε>0 , ∃δ(ε)>0 , ∀x∈D(f) s.t. 0<|x-x₀|<δ(ε) , |f(x)-A|<ε。 また、lim[n→∞](x[n])=x₀ (x[n]≠x₀) ⇔ ∀δ(ε)>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀n≧N(δ(ε)) , 0<|x[n]-x₀|<δ(ε)より ∀ε>0 , ∃N(δ(ε))∈N , ∀x[n]∈D(f) s.t. n≧N(δ(ε)) , |f(x[n])-A|<ε。 &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; -- [[アド★彡]] &new{2020-05-03 (日) 18:20:46}; |