デュラチャ数学(中学レベル) のバックアップソース(No.8)
中学生のデュラチャ民をお助けします。 2019年に完成予定です。 あなたは、&color(blue){&counter(total);};番目のお客様です。 今日は、&color(blue){&counter(today);};人のお客様が訪問しました。 昨日は、&color(blue){&counter(yesterday);};人のお客様が訪問しました。 &br; *目次[#l4ca97a5] [[平方根>#s3704e61]] [[コメント欄>#rb63a000]] &br; *平方根 [#s3704e61] &br; この単元で登場する小文字は全て正とする。 aと-aはまとめて&color(red){±a};と表すことができ, &color(red){プラスマイナスa};と読む。 &br; 【例題1】 2と-2をまとめよ。 解説:2と-2をまとめると±2となる。 &br; 2乗してaになる数を&color(red){aの平方根};という。 aの平方根のうち,負でない方を &color(Red){√a};と表し,&color(Red){ルートa};と読む。 ※0についても同様に考えると 0の平方根は&color(blue){0};であり, &color(blue){0};は負ではないから√0=&color(blue){0};となる。 &br; 【例題2】 16の平方根を求めよ。 また,√9の値を求めよ。 解説:2乗して16になる数は4と-4の 2種類だから16の平方根は±4 2乗して9になる数は3と-3の2種類だが, 負でない方は3だから√9=3 &br; √aは面積がaである正方形の 1辺の長さとも言い換えられる。 よって,次の公式が得られる。 &color(red){(√a)²=a}; 一般に,(-A)²=A²が成り立つから A=√aとおくことで次の公式が得られる。 &color(red){(-√a)²=a}; これより,aの平方根は&color(red){±√a};と表せる。 &br; 【例題3】 17の平方根を求めよ。 解説:17の平方根は±√17 ※例題2においても16の平方根は ±√16と表せるが,√16=4と簡単な数で 表せるので16の平方根は±4となる。 &br; 先ほど,√aは面積がaである正方形の 1辺の長さと説明した。正方形の面積が 大きいほど1辺の長さも大きくなるから &color(red){aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。}; &br; 【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。 解説:√a=5とおくと,両辺を2乗して a=25と求まるから5=√25 √23<√25より,√23<5と求まる。 &br; 公式(√a)²=aを利用すると (√a×√b)²=√a×√b×√a×√b =√a×√a×√b×√b =a×b =ab {√(ab)}²=ab これより,(√a×√b)²={√(ab)}² A²=B²のとき,AとBの符号が一致するなら A=Bが成り立つから次の公式が得られる。 &color(red){√a×√b=√(ab)}; 同様にして次の公式も得られる。 &color(red){(√b)/(√a)=√(b/a)}; &br; 【例題5】 √2×√3を計算せよ。 また,(√15)/(√3)を計算せよ。 解説:√2×√3=√(2×3)=√6 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5 &br; 2,3,5,7のように正の約数が2個しかない 自然数を&color(red){素数};といい,自然数を 素数の積で表すことを&color(red){素因数分解};という。 &br; 【例題6】 60を素因数分解せよ。 解説:60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より, 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5 &br; ある数に√aをかけるとき,&color(red){×を省略できる。}; ここで,公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると √(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a よって,次の公式が得られる。 &color(red){√(k²a)=k√a}; &br; 【例題7】 √48をa√bの形で表せ。 (bはできるだけ小さくすること) 解説:√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3 &br; ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより, xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。 &color(red){a√c+b√c=(a+b)√c}; &color(red){a√c-b√c=(a-b)√c}; ※√の中は足し引きできない。 例えば√4+√9=2+3=5より,√4+√9≠√13 &br; 【例題8】 √18-√8を計算せよ。 解説:√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2 ※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。 &br; 展開や因数分解の公式を 利用すれば複雑な計算もできる。 &br; 【例題9】 {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²- {(7+4√3)²-(7-4√3)²}²を計算せよ。 解説:(7+4√3)²=A , (7-4√3)²=Bとおくと {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-{(7+4√3)²-(7-4√3)²}² =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)} =2A×2B=4AB=4(7+4√3)²(7-4√3)² =4{(7+4√3)(7-4√3)}²=4(49-48)²=4 &br; 分数の分母に√を含むとき,分母の√を 分子に移動させることを&color(red){分母の有理化};という。 分母を有理化するには分母と分子に 同じ値をかければ良い。 &br; 【例題10】 1/√20の分母を有理化せよ。 解説:1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5) =(1×√5)/{(2√5)×√5}=(√5)/(2×5)=(√5)/10 &br; 展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば 分母が複雑な場合も分母を有理化できる。 &br; 【例題11】 1/(√5+√2)の分母を有理化せよ。 解説:1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)} =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3 &br; 作成日:2018年8月7日 最終更新日:2018年8月8日 &br; *コメント欄 [#rb63a000] &br; #pcomment(,10000,reply,,nomove); &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; |