デュラチャ数学(中学レベル) のバックアップの現在との差分(No.6)
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次に多項式同士の積について考えてみよう。 (a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。 (a+b)(c+d) =e(c+d) =ec+ed =(a+b)c+(a+b)d =ac+bc+ad+bd =ac+ad+bc+bd これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。 (x+a)(x+b) =x²+bx+ax+ab =x²+(a+b)x+ab (x+a)² =(x+a)(x+a) =x²+ax+ax+a² =x²+2ax+a² (x-a)² =(x-a)(x-a) =x²-ax-ax+a² =x²-2ax+a² (x+a)(x-a) =x²-ax+ax-a² =x²-a² 展開の公式: (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab (x+a)²=x²+2ax+a² (x-a)²=x²-2ax+a² (x+a)(x-a)=x²-a² 【例題2】 4(x+1)(x-2)を展開せよ。 解説:4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2) =4(x²-x-2)=4x²-4x-8 【例題3】 (x+6)²を展開せよ。 解説:(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36
【例題4】 2(x-3)²を展開せよ。 解説:2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²) =2(x²-6x+9)=2x²-12x+18 【例題5】 (x+7)(x-7)を展開せよ。 解説:(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49
【例題6】 (3x-4)(5x+3)を展開せよ。 解説:(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12
共通部分をまとめたり,項の順序を入れ替えたり することで簡単に展開できる場合がある。 【例題6】 (x+y-2)(x+y+5)を展開せよ。 解説:(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5} =(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10 =x²+2xy+y²+3x+3y-10 【例題7】 (x+4)²(x-4)²を展開せよ。 解説:(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4) ={(x+4)(x-4)}²={(x²-4²)}²=(x²-16)² =(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256 【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)を展開せよ。 解説: (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) =(a²+b²+ab)(a²+b²-ab) ={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab} =(a²+b²)²-(ab)² =(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b² =a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴ 作成日:8月14日 最終更新日:8月14日 因数分解ある多項式を単項式と多項式, または多項式同士の積で表すことを 因数分解という。また,ある多項式の 各項に共通に含まれる整数や文字のことを 共通因数といい,共通因数を前に出すことを 共通因数でくくるという。一般に,共通因数で くくることで因数分解することができる。 【例題1】 9a²x+3ax²-6axを因数分解せよ。 解説:9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2)
共通因数が見当たらない場合は, 展開の公式の両辺を入れ替えた 式を利用することで因数分解できる。 因数分解の公式: x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) x²+2ax+a²=(x+a)² x²-2ax+a²=(x-a)² x²-a²=(x+a)(x-a) 【例題2】 3x²-6x-45を因数分解せよ。 解説:3x²-6x-45=3(x²-2x-15) 足して-2,かけて-15になる2数は 3と-5より,3x²-6x-45=3(x+3)(x-5) 【例題3】 x²+10x+25を因数分解せよ。 解説:x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)²
※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。 【例題4】 9x²-24ax+16a²を因数分解せよ。 解説:9x²-24ax+16a² =(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)² 【例題5】 2x²-162を因数分解せよ。 解説: 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9)
共通部分を置き換えることで 簡単に因数分解できる場合がある。 【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10を因数分解せよ。 解説:x-2=aとおくと,(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10 足して-3,かけて-10になる2数は2と-5より, a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7) よって,(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7) 作成日:8月14日 最終更新日:8月14日 平方根
解説:2と-2をまとめると±2となる。
解説:2乗して16になる数は4と-4の 2種類だから16の平方根は±4 2乗して9になる数は3と-3の2種類だが, 負でない方は3だから√9=3
解説:17の平方根は±√17 ※例題1においても16の平方根は ※例題2においても16の平方根は ±√16と表せるが,√16=4と簡単な数で 表せるので16の平方根は±4となる。 先ほど,√aは面積がaである正方形の 1辺の長さと説明した。正方形の面積が 大きいほど1辺の長さも大きくなるから aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。 【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。 解説:√a=5とおくと,両辺を2乗して a=25と求まるから5=√25 √23<√25より,√23<5と求まる。
解説:√2×√3=√(2×3)=√6 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5
解説:60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より, 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5
解説:√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3
解説:√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2 ※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。 【例題9】 {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²- {(7+4√3)²-(7-4√3)²}²を計算せよ。 解説:(7+4√3)²=A , (7-4√3)²=Bとおくと {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-{(7+4√3)²-(7-4√3)²}² 【例題9】 {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²- {(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}²を計算せよ。 解説:(7+4√3)⁴=A , (7-4√3)⁴=Bとおくと {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)} =2A×2B=4AB=4(7+4√3)²(7-4√3)² =4{(7+4√3)(7-4√3)}²=4(49-48)²=4 =2A×2B=4AB=4(7+4√3)⁴(7-4√3)⁴ =4{(7+4√3)(7-4√3)}⁴=4(49-48)⁴=4
解説:1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5) =(1×√5)/{(2√5)×√5}=(√5)/(2×5)=(√5)/10 =(1×√5)/(2√5×√5)=(√5)/(2×5)=(√5)/10
解説:1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)} =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3
更新日:2018年8月8日 最終更新日:2018年8月16日 コメント欄
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