デュラチャ数学（中学レベル） のバックアップソース(No.6) 
中学生のデュラチャ民をお助けします。
2019年に完成予定です。
&size(24){あなたは、&color(blue){&counter(total);};番目のお客様です。};
&size(24){今日は、&color(blue){&counter(today);};人のお客様が訪問しました。};
&size(24){昨日は、&color(blue){&counter(yesterday);};人のお客様が訪問しました。};
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*目次[#l4ca97a5]
[[平方根>#s3704e61]]
[[コメント欄>#rb63a000]]
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*平方根 [#s3704e61]
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この単元で登場する小文字は全て正とする。
aと-aはまとめて&color(red){±a};と表すことができ，
&color(red){プラスマイナスa};と読む。
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【例題1】 2と-2をまとめよ。
 解説：2と-2をまとめると±2となる。
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2乗してaになる数を&color(red){aの平方根};という。
aの平方根のうち，負でない方を
&color(Red){√a};と表し，&color(Red){ルートa};と読む。
※0についても同様に考えると
0の平方根は&color(blue){0};であり，
&color(blue){0};は負ではないから√0=&color(blue){0};となる。
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【例題2】 16の平方根を求めよ。 
また，√9の値を求めよ。
 解説：2乗して16になる数は4と-4の
 2種類だから16の平方根は±4
 2乗して9になる数は3と-3の2種類だが，
 負でない方は3だから√9=3
&br;
√aは面積がaである正方形の
1辺の長さとも言い換えられる。
よって，次の公式が得られる。
&color(red){(√a)²=a};
一般に，(-A)²=A²が成り立つから
A=√aとおくことで次の公式が得られる。
&color(red){(-√a)²=a};
これより，aの平方根は&color(red){±√a};と表せる。
&br;
【例題3】 17の平方根を求めよ。
 解説：17の平方根は±√17
※例題1においても16の平方根は
±√16と表せるが，√16=4と簡単な数で
表せるので16の平方根は±4となる。
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先ほど，√aは面積がaである正方形の
1辺の長さと説明した。正方形の面積が
大きいほど1辺の長さも大きくなるから
&color(red){aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。};
&br;
【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。
 解説：√a=5とおくと，両辺を2乗して
 a=25と求まるから5=√25
 √23<√25より，√23<5と求まる。
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公式(√a)²=aを利用すると
(√a×√b)²=√a×√b×√a×√b
=√a×√a×√b×√b
=a×b
=ab
{√(ab)}²=ab
これより，(√a×√b)²={√(ab)}²
A²=B²のとき，AとBの符号が一致するなら
A=Bが成り立つから次の公式が得られる。
&color(red){√a×√b=√(ab)};
同様にして次の公式も得られる。
&color(red){(√b)/(√a)=√(b/a)};
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【例題5】 √2×√3を計算せよ。
また，(√15)/(√3)を計算せよ。
 解説：√2×√3=√(2×3)=√6
 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5
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2,3,5,7のように正の約数が2個しかない
自然数を&color(red){素数};といい，自然数を
素数の積で表すことを&color(red){素因数分解};という。
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【例題6】 60を素因数分解せよ。
 解説：60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より，
 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5
&br;
ある数に√aをかけるとき，&color(red){×を省略できる。};
ここで，公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると
√(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a
よって，次の公式が得られる。
&color(red){√(k²a)=k√a};
&br;
【例題7】 √48をa√bの形で表せ。
（bはできるだけ小さくすること）
 解説：√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3
&br;
ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより，
xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。
&color(red){a√c+b√c=(a+b)√c};
&color(red){a√c-b√c=(a-b)√c};
※√の中は足し引きできない。
例えば√4+√9=2+3=5より，√4+√9≠√13
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【例題8】 √18-√8を計算せよ。
 解説：√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2
※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。
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展開や因数分解の公式を
利用すれば複雑な計算もできる。
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【例題9】 {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-
{(7+4√3)²-(7-4√3)²}²を計算せよ。
 解説：(7+4√3)²=A , (7-4√3)²=Bとおくと
 {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-{(7+4√3)²-(7-4√3)²}² 
 =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)}
 =2A×2B=4AB=4(7+4√3)²(7-4√3)²
 =4{(7+4√3)(7-4√3)}²=4(49-48)²=4
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分数の分母に√を含むとき，分母の√を
分子に移動させることを&color(red){分母の有理化};という。
分母を有理化するには分母と分子に
同じ値をかければ良い。
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【例題10】 1/√20の分母を有理化せよ。
 解説：1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5)
 =(1×√5)/{(2√5)×√5}=(√5)/(2×5)=(√5)/10
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展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば
分母が複雑な場合も分母を有理化できる。
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【例題11】 1/(√5+√2)の分母を有理化せよ。
 解説：1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)}
 =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3
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作成日：2018年8月7日
更新日：2018年8月8日
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*コメント欄 [#rb63a000]
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#pcomment(,10000,reply,,nomove);
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