デュラチャ中学数学 のバックアップ(No.17)
中学生のデュラチャ民をお助けします。 目次
正負の数
解説:+8 (8の直前には+が省略されている)
解説:6と-6 (どちらも0から6だけ離れている)
解説:-5>-7 (-5の方が右側にある)
-3=-(3/1) よって、-3の逆数は-(1/3)。
解説:7+(-3)×{-6-(-4)}=7+(-3)×(-6+4) =7+(-3)×(-2)=7+3×2=7+6=13
解説:(-82)+100=100+(-82)=100-82=18
解説:-(2/3)÷(5/9)=-{(3/2)÷(5/9)} =-{(2/3)×(9/5)}=-(6/5)
解説:(-2)⁴÷(-2²) =(-2)×(-2)×(-2)×(-2)÷{-(2×2)} =16÷(-4)=-4
解説:2+3²=2+3×3=2+9=11 ※指数はその直前の数字にしか効果がない。 文字式
解説:(1) x×3=3×x=3x , (2) y×z×x=x×y×z=xyz (3) a×1=1×a=1a=a , (4) b×(-1)=(-1)×b=-1b=-b (5) b×a×b×(-2)=(-2)×a×b×b=-2ab² (6) a÷(-3)=a×{1/(-3)}=a×{-(1/3)}=-(1/3)a (a÷(-3)=a/(-3)=-(a/3)としても良い)
解説:200×x+300×y=200x+300y よって、値段は(200x+300y)円。
解説:円周の長さはr×2×π=2πr[cm] 面積はr×r×π=π×r×r=πr²[cm²] ※1=1cmは成り立たないので、[ ]の中に単位を 解説:3a²-4b-8=3a²+(-4)b+(-8) 項:3a²,-4b,-8 係数:a²の係数は3,bの係数は-4 定数項:-8
解説:6x²y=6x²y¹より、次数は3。
解説:各項の次数は左から順に4,3,0。 よって、求める次数は4。
解説:x-3+4x+2=x+4x-3+2 =(x+4x)+(-3+2)=(1+4)x-1=5x-1
解説:3a²b-5b²c+a²b-4b+5b²c-b =3a²b+a²b-5b²c+5b²c-4b-b =(3+1)a²b+(-5+5)b²c+(-4-1)b =4a²b-5b
解説:(1) (2a-3)+(5a+1)=2a-3+5a+1=7a-2 (2) (x-2)-(4x-3)=x-2-4x+3=-5x+1
解説:(1) 7x×2=7×2×x=14x (2) 4(3x+1)=4×3x+4×1=12x+4 (3) 32x÷4=(32×x)/4=8x (4) 6a÷{-(3/5)}=6a×{-(5/3)} =-{6a×(5/3)}=-{(6×a×5)/3}=-10a (5) (14x-21y)÷7=(14x-21y)×(1/7) =14x×(1/7)-21y×(1/7)=2x-3y
解説:(1) 3(x+2)+2(3x-5) =3x+6+(6x-10)=3x+6+6x-10=9x-4 (2) {(x-3y)/3}-{(3x-5y)/2} ={2(x-3y)-3(3x-5y)}/6 ={2x-6y-(9x-15y)}/6 =(2x-6y-9x+15y)/6 =(-7x+9y)/6 別解 {(x-3y)/3}-{(3x-5y)/2} =(1/3)(x-3y)-(1/2)(3x-5y) =(1/3)x-y-{(3/2)x-(5/2)y} =(1/3)x-y-(3/2)x+(5/2)y =(1/3)x-(3/2)x+(5/2)y-y ={(2-9)/6}x+{(5-2)/2}y =-(7/6)x+(3/2)y
解説:(1) 4a×5b=4×a×5×b =4×5×a×b=20ab 別解 4a×5b=(4×5)ab=20ab (2) 6x×(-3x)=6×x×(-3)×x =6×(-3)×x×x=-18x² 別解 6x×(-3x)={6×(-3)}x²=-18x²
解説:(1) 20a²b÷(8/5)ab =20a²b÷{(8ab)/5} =20a²b×{5/(8ab)} =(20a²b×5)/(8ab) =(5a×5)/2=(25/2)a 別解 20a²b÷(8/5)ab ={20÷(8/5)}×(a²÷a)×(b÷b) ={20×(5/8)}×a =(25/2)a (2) 15xy×(-2x)÷5xy² =-{(15xy×2x)/(5xy²)} =-{(6x)/y} 別解 15xy×(-2x)÷5xy² ={15×(-2)÷5}×(x×x÷x)×(y÷y²) =(-6x)×(1/y)=-{(6x)/y} ※20a²b÷(8/5)abは20a²b÷(8/5)×a×b 解説:(1) 5a-1=5×4-1=20-1=19 (2) 5a-2b=5×3-2×(-4)=15+8=23
解説:3(x+2y)-2(3x-y) =3x+6y-(6x-2y)=3x+6y-6x+2y =-3x+8y=-3×(-8)+8×11 =24+88=112
解説:2つの奇数は、整数m,nを用いて 2m+1 , 2n+1と表すことができる。 このとき、(2m+1)+(2n+1)=2m+1+2n+1 =2m+2n+2=2(m+n+1)。ここで、m+n+1は 整数なので2つの奇数の和は偶数である。
1次方程式
解説:7x-4(3x-5)=5 → 7x-(12x-20)=5 → -5x+20=5 → -5x=5-20 → -5x=-15 → x=3
展開
解説:分配法則a(b-c)=ab-acより,3(x-2)=3x-6
解説:4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2) =4(x²-x-2)=4x²-4x-8
解説:(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36
解説:2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²) =2(x²-6x+9)=2x²-12x+18
解説:(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49
解説:(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12
解説:(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5} =(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10 =x²+2xy+y²+3x+3y-10
解説:(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4) ={(x+4)(x-4)}²=(x²-4²)²=(x²-16)² =(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256
解説: (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) =(a²+b²+ab)(a²+b²-ab) ={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab} =(a²+b²)²-(ab)² =(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b² =a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴
因数分解
解説:9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2)
解説:3x²-6x-45=3(x²-2x-15) 足して-2,かけて-15になる2数は 3と-5より,3x²-6x-45=3(x+3)(x-5)
解説:x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)² ※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。 解説:9x²-24ax+16a² =(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)²
解説: 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9)
解説:x-2=aとおくと,(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10 足して-3,かけて-10になる2数は2と-5より, a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7) よって,(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7)
平方根
解説:2と-2をまとめると±2となる。
解説:2乗して16になる数字は4と-4の 2種類だから16の平方根は±4 2乗して9になる数字は3と-3の2種類だが, 負でない方は3だから√9=3
解説:17の平方根は±√17 ※例題2においても16の平方根は 解説:√a=5とおくと,両辺を2乗して a=25と求まるから5=√25 √23<√25より,√23<5と求まる。
解説:√2×√3=√(2×3)=√6 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5
解説:60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より, 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5
解説:√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3
解説:√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2 ※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。 解説:(7+4√3)⁴=A , (7-4√3)⁴=Bとおくと {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)} =2A×2B=4AB=4(7+4√3)⁴(7-4√3)⁴ =4{(7+4√3)(7-4√3)}⁴=4(49-48)⁴=4
解説:1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5) =(1×√5)/(2√5×√5)=(√5)/(2×5)=(√5)/10
解説:1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)} =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3
2次方程式
解説:x=±√32=±4√2
解説:x²-6x+9=(x-3)²=0 ∴x=3
解説:2乗して負になる数字は存在しない。∴解なし
解説:x²-3x-10=(x+2)(x-5)=0 ∴x=-2,5
解説:(2x+1)(x-3)=2x²-5x-3より,2x²-5x-3=3x²+x+6 左辺を右辺に移項して両辺を入れ替えると x²+6x+9=(x+3)²=0 ∴x=-3
x=(-5±√{5²-4×2×(-1)})/(2×2)=(-5±√33)/4
解説:3x²-8x+2=0より,3x²+2(-4)x+2=0 x=(-(-4)±√{(-4)²-3×2})/3=(4±√10)/3
解説:5(3x+2)²+2×3×(3x+2)-3=0より, 3x+2=(-3±√{3²-5×(-3)})/5=(-3±√24)/5=(-3±2√6)/5 3x=(-13±2√6)/5 ∴x=(-13±2√6)/15
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