デュラチャ中学数学のバックアップ(No.12)

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正負の数

0より大きい数字を正の数といい、
0より小さい数字を負の数という。
5や2.4といった数字は正の数であるが、
これらの数字の直前には+(プラス)という
記号が省略されていて、これを正の符号という。
(例：5=+5 , 2.4=+2.4)
Aを正の数としたとき、0よりA小さい数字を
- (マイナス)という記号を用いて
-aと表し、この記号を負の符号という。
(例：0より3小さい数字は-3)

【例題1】 0より8大きい数字を符号を用いて表せ。

解説：+8 (8の直前には+が省略されている)

数直線において、0からの距離を絶対値という。
3は0より3大きい数字なので絶対値は3であり、
-3も0より3小さい数字なので絶対値は3となる。

【例題2】絶対値が6になる数字を答えよ。

解説：6と-6 (どちらも0から6だけ離れている)

一般に、数直線の右側にある数字ほど大きくなる。

【例題3】 -5と-7の大小関係を不等号で表せ。

解説：-5>-7 (-5の方が右側にある)

正負の計算には次のようなルールがある。
+,-,×,÷は連続してはいけない。
4に-1を足すときは4+-1ではなく、( )を
補って4+(-1)と表さなければならない。
引く、かける、割るときも同様である。
正負の四則演算は次のように決める。
計算に関わる-の個数が奇数のときは計算結果に
-がつき、偶数のときは計算結果に+がつく。
最終的な計算は数直線で考えると良い。
( ) → { } → [ ] → ×,÷ → +,-
の順に計算する必要があるので気を付ける。
なお、aとbは0以上の数字とし、
割り算においてはb≠0とする。

a+(-b)=a-b
a-(-b)=a+b
(-a)+(-b)=-a-b
(-a)-(-b)=-a+b
a×(-b)=-(a×b)
(-a)×b=-(a×b)
(-a)×(-b)=a×b
a÷(-b)=-(a÷b)
(-a)÷b=-(a÷b)
(-a)÷(-b)=a÷b
※計算に関わる部分の-の個数を数える。
たとえば、(-a)+(-b)では-が2個あるが
計算に関わるのは+とその右側の-であり、
-は1個となるので-a-bとなる。

【例題4】 7+(-3)×{-6-(-4)} を計算せよ。

解説：7+(-3)×{-6-(-4)}=7+(-3)×(-6+4)
=7+(-3)×(-2)=7+3×2=7+6=13

足し算とかけ算においては次の等式が成り立つ。

A+B=B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
A×B=B×A
A×(B×C)=(A×B)×C

【例題5】 (-82)+100 を計算せよ。

解説：(-82)+100=100+(-82)=100-82=18

これまでは、分数において分子が分母よりも
大きくなる場合は帯分数(1と3分の2など)に
直していたが、今後は仮分数(3分の5など)で良い。

【例題6】 -(2/3)÷(5/9) を計算せよ。

解説：-(2/3)÷(5/9)=-{(3/2)÷(5/9)}
=-{(2/3)×(9/5)}=-(6/5)

同じ数字をかけ合わせものをその数字の累乗という。
たとえば、4×4は4²と表して4の2乗と読み、
右肩の数字を指数という。(ここでは2が指数)
逆に、4²は4×4のことであり、計算すると16になる。
負の数の累乗を表現するときは(-4)²のように
( )で挟む。-4²と表現した場合は-4ではなく
4をかけ合わせることになり、計算すると-16になる。
指数はその直前の数字にしか効果がない。

【例題7】 (-2)⁴÷(-2²)を計算せよ。

解説：(-2)⁴÷(-2²)
=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)÷{-(2×2)}
=16÷(-4)=-4

【例題8】 2+3²を計算せよ。

解説：2+3²=2+3×3=2+9=11

※指数はその直前の数字にしか効果がない。
よって、2+3²=(2+3)²とはならない。

作成日：2020年3月28日
更新日：2020年3月28日

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文字式

文字を用いた式のことを文字式といい、
乗法、除法の計算結果をそれぞれ積、商という。
※足し算を加法、引き算を減法といい、
かけ算を乗法、割り算を除法という。

文字を用いた積の表し方
[1] 数字と文字の積では数字を先に書く。
[2] 文字同士の積ではアルファベット順に書く。
(敢えてアルファベット順にしないこともある)
[3] 文字を含む乗法では×を省略する。
[4] 1と文字の積、-1と文字の積では1を省略する。
[5] 同じ文字の積は指数を用いて表す。

文字を用いた商の表し方
[1] 文字を含む除法では÷を用いずに分数で表す。
[2] 文字式に限らず、分母や分子に負の符号が
あるときはその-を分数の左側に移動させる。

【例題1】次の積を文字式の表し方に従って表せ。
(1) x×3
(2) y×z×x
(3) a×1
(4) b×(-1)
(5) b×a×b×(-2)
(6) a÷(-3)

解説：(1) x×3=3×x=3x , (2) y×z×x=x×y×z=xyz
(3) a×1=1×a=1a=a , (4) b×(-1)=(-1)×b=-1b=-b
(5) b×a×b×(-2)=(-2)×a×b×b=-2ab²
(6) a÷(-3)=a×{1/(-3)}=a×{-(1/3)}=-(1/3)a
(a÷(-3)=a/(-3)=-(a/3)としても良い)

いろいろな数量を文字式で表してみよう。

【例題2】 200円の商品をx個と300円の
商品をy個買ったときの値段を求めよ。

解説：200×x+300×y=200x+300y
よって、値段は(200x+300y)円。

円周率3.141592・・・をπと表し、パイと読む。
πは特殊な文字であり、文字の前、数字の後ろに書く。
特殊とはいえ、πは文字であるから×は省略する。

【例題3】半径 r cmの円について考える。
円周の長さおよび面積を求めよ。(円周率π)

解説：円周の長さはr×2×π=2πr[cm]
面積はr×r×π=π×r×r=πr²[cm²]

※1=1cmは成り立たないので、[ ]の中に単位を
補足した。2πr[cm]という式があるわけではない。
答えるときは2πr cm , πr² cm²などと書く。

演算記号の+や-を含まない式を単項式といい、
単項式の和で表せる式を多項式という。
多項式に含まれるそれぞれの単項式を項といい、
特に数字だけの項を定数項という。文字を含む
単項式の数字にあたる部分を係数という。
※足す、引くのことであり、符号のことではない。

【例題4】 3a²-4b-8の項、係数、定数項を答えよ。

解説：3a²-4b-8=3a²+(-4)b+(-8)
項：3a²,-4b,-8
係数：a²の係数は3,bの係数は-4
定数項：-8

単項式において、かけ合わされている文字の個数を
次数という。指数と区別すること。(→正負の数)

【例題5】 6x²yの次数を答えよ。

解説：6x²y=6x²y¹より、次数は3。

多項式において、各項の次数の中で
最大のものをその多項式の次数とする。

【例題6】 -5x²y²+y³-2の次数を答えよ。

解説：各項の次数は左から順に4,3,0。
よって、求める次数は4。

多項式の項の中で、文字の部分が同じ項を
同類項といい、1つの項にまとめることができる。
このことを、同類項をまとめるという。
分配法則mx+nx=(m+n)xを利用する。

【例題7】 a-3+4a+2の同類項をまとめよ。

解説：a-3+4a+2=a+4a-3+2
=(a+4a)+(-3+2)=(1+4)a-1=5a-1

複雑な多項式の同類項をまとめてみよう。

【例題8】次の多項式の同類項をまとめよ。
3a²b-5b²c+a²b-4b+5b²c-b

解説：3a²b-5b²c+a²b-4b+5b²c-b
=3a²b+a²b-5b²c+5b²c-4b-b
=(3+1)a²b+(-5+5)b²c+(-4-1)b
=4a²b-5b

TO BE CONTINUED・・・

▲ ▼

展開

単項式と多項式の積，または多項式同士の積を
1つの多項式で表すことを展開するという。
※演算記号の+や-を含まない式を単項式といい，
単項式の和で表せる式を多項式という。
たとえば、例題1においては3が単項式であり，
x-2が多項式である。(x-2=x+(-2)と表せ，
xと-2は単項式であるからx-2は多項式)

【例題1】 3(x-2) を展開せよ。

解説：分配法則a(b-c)=ab-acより，3(x-2)=3x-6

次に多項式同士の積について考えてみよう。
(a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。

(a+b)(c+d)
=e(c+d)
=ec+ed
=(a+b)c+(a+b)d
=ac+bc+ad+bd
=ac+ad+bc+bd

これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。

(x+a)(x+b)
=x²+bx+ax+ab
=x²+(a+b)x+ab

(x+a)²
=(x+a)(x+a)
=x²+ax+ax+a²
=x²+2ax+a²

(x-a)²
=(x-a)(x-a)
=x²-ax-ax+a²
=x²-2ax+a²

(x+a)(x-a)
=x²-ax+ax-a²
=x²-a²

展開の公式：
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
(x+a)²=x²+2ax+a²
(x-a)²=x²-2ax+a²
(x+a)(x-a)=x²-a²

【例題2】 4(x+1)(x-2) を展開せよ。

解説：4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2)
=4(x²-x-2)=4x²-4x-8

【例題3】 (x+6)² を展開せよ。

解説：(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36

【例題4】 2(x-3)² を展開せよ。

解説：2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²)
=2(x²-6x+9)=2x²-12x+18

【例題5】 (x+7)(x-7) を展開せよ。

解説：(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49

【例題6】 (3x-4)(5x+3) を展開せよ。

解説：(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12

共通部分をまとめたり，項の順序を入れ替えたり
することで簡単に展開できる場合がある。

【例題6】 (x+y-2)(x+y+5) を展開せよ。

解説：(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5}
=(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10
=x²+2xy+y²+3x+3y-10

【例題7】 (x+4)²(x-4)² を展開せよ。

解説：(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4)
={(x+4)(x-4)}²=(x²-4²)²=(x²-16)²
=(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256

【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) を展開せよ。

解説： (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
=(a²+b²+ab)(a²+b²-ab)
={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab}
=(a²+b²)²-(ab)²
=(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b²
=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴

作成日：2018年8月14日
最終更新日：2019年8月14日

▲ ▼

因数分解

ある多項式を単項式と多項式，
または多項式同士の積で表すことを
因数分解するという。また，ある多項式の
各項に共通に含まれる整数や文字のことを
共通因数といい，共通因数を前に出すことを
共通因数でくくるという。一般に，共通因数で
くくることで因数分解することができる。

【例題1】 9a²x+3ax²-6ax を因数分解せよ。

解説：9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2)

共通因数が見当たらない場合は，
展開の公式の両辺を入れ替えた
式を利用することで因数分解できる。

因数分解の公式：
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x²+2ax+a²=(x+a)²
x²-2ax+a²=(x-a)²
x²-a²=(x+a)(x-a)

【例題2】 3x²-6x-45 を因数分解せよ。

解説：3x²-6x-45=3(x²-2x-15)
足して-2，かけて-15になる2数は
3と-5より，3x²-6x-45=3(x+3)(x-5)

【例題3】 x²+10x+25 を因数分解せよ。

解説：x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)²

※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。

【例題4】 9x²-24ax+16a² を因数分解せよ。

解説：9x²-24ax+16a²
=(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)²

【例題5】 2x²-162 を因数分解せよ。

解説： 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9)

共通部分を置き換えることで
簡単に因数分解できる場合がある。

【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10 を因数分解せよ。

解説：x-2=aとおくと，(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10
足して-3，かけて-10になる2数は2と-5より，
a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7)
よって，(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7)

作成日：2018年8月14日
更新日：2018年8月14日

▲ ▼

平方根

この単元で登場する小文字は全て正とする。
aと-aはまとめて±aと表すことができ，
プラスマイナスaと読む。

【例題1】 2と-2をまとめよ。

解説：2と-2をまとめると±2となる。

2乗してaになる数字をaの平方根という。
aの平方根のうち，負でない方を
√aと表し，ルートaと読む。
※0についても同様に考えると
0の平方根は0であり，
0は負ではないから√0=0となる。

【例題2】 16の平方根を求めよ。
また，√9の値を求めよ。

解説：2乗して16になる数字は4と-4の
2種類だから16の平方根は±4
2乗して9になる数字は3と-3の2種類だが，
負でない方は3だから√9=3

√aは面積がaである正方形の
1辺の長さとも言い換えられる。
よって，次の公式が得られる。
(√a)²=a
一般に，(-A)²=A²が成り立つから
A=√aとおくことで次の公式が得られる。
(-√a)²=a
これより，aの平方根は±√aと表せる。

【例題3】 17の平方根を求めよ。

解説：17の平方根は±√17

※例題2においても16の平方根は
±√16と表せるが，√16=4と簡単な数字で
表せるので16の平方根は±4となる。

先ほど，√aは面積がaである正方形の
1辺の長さと説明した。正方形の面積が
大きいほど1辺の長さも大きくなるから
aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。

【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。

解説：√a=5とおくと，両辺を2乗して
a=25と求まるから5=√25
√23<√25より，√23<5と求まる。

公式(√a)²=aを利用すると
(√a×√b)²=√a×√b×√a×√b
=√a×√a×√b×√b
=a×b
=ab
{√(ab)}²=ab
これより，(√a×√b)²={√(ab)}²
A²=B²のとき，AとBの符号が一致するなら
A=Bが成り立つから次の公式が得られる。
√a×√b=√(ab)
同様にして次の公式も得られる。
(√b)/(√a)=√(b/a)

【例題5】 √2×√3 を計算せよ。
また，(√15)/(√3) を計算せよ。

解説：√2×√3=√(2×3)=√6
(√15)/(√3)=√(15/3)=√5

2,3,5,7のように正の約数が2個しかない
自然数を素数といい，自然数を
素数の積で表すことを素因数分解という。

【例題6】 60を素因数分解せよ。

解説：60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より，
割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5

ある数字に√aをかけるとき，×を省略できる。
ここで，公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると
√(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a
よって，次の公式が得られる。
√(k²a)=k√a

【例題7】 √48をa√bの形で表せ。
（bはできるだけ小さくすること）

解説：√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3

ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより，
xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。
a√c+b√c=(a+b)√c
a√c-b√c=(a-b)√c
※√の中は足し引きできない。
例えば√4+√9=2+3=5より，√4+√9≠√13

【例題8】 √18-√8 を計算せよ。

解説：√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2

※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。

展開や因数分解の公式を
利用すれば複雑な計算もできる。

【例題9】 {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-
{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² を計算せよ。

解説：(7+4√3)⁴=A , (7-4√3)⁴=Bとおくと
{(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² 
=(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)}
=2A×2B=4AB=4(7+4√3)⁴(7-4√3)⁴
=4{(7+4√3)(7-4√3)}⁴=4(49-48)⁴=4

分数の分母に√を含むとき，分母の√を
分子に移動させることを分母の有理化という。
分母を有理化するには分母と分子に
同じ値をかければ良い。

【例題10】 1/√20 の分母を有理化せよ。

解説：1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5)
=(1×√5)/(2√5×√5)=(√5)/(2×5)=(√5)/10

展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば
分母が複雑な場合も分母を有理化できる。

【例題11】 1/(√5+√2) の分母を有理化せよ。

解説：1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)}
=(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3

作成日：2018年8月7日
更新日：2018年8月16日

▲ ▼

2次方程式

(xの2次式)=0の形で表される方程式を
xについての2次方程式という。

【例題1】 2次方程式 x²=32 を解け。

解説：x=±√32=±4√2

【例題2】 2次方程式 x²-6x+9=0 を解け。

解説：x²-6x+9=(x-3)²=0 ∴x=3

【例題3】 2次方程式 x²=-8 を解け。

解説：2乗して負になる数字は存在しない。∴解なし

上記の例題より，2次方程式の解は0～2個存在する。
2次方程式の解が2個のときは例題1のように
±で表す他にカンマを用いて解を表すことがある。

【例題4】 2次方程式 x²-3x-10=0 を解け。

解説：x²-3x-10=(x+2)(x-5)=0 ∴x=-2,5

移項することで解ける2次方程式もある。

【例題5】 2次方程式 (2x+1)(x-3)=3x²+x+6 を解け。

解説：(2x+1)(x-3)=2x²-5x-3より，2x²-5x-3=3x²+x+6
左辺を右辺に移項して両辺を入れ替えると
x²+6x+9=(x+3)²=0 ∴x=-3

2次方程式の中には因数分解できないものもある。
そういうときは，両辺に数字を加えたり引いたり
してから因数分解すれば良い。こうすることで
どんな2次方程式でも解けるようになる。
ax²+bx+c=0 (a≠0) の解を求めてみよう。

ax²+bx+c=0 (a≠0)
4a(ax²+bx+c)=0
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
(2ax)²+2(2ax)b=-4ac
(2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac
(2ax+b)²=b²-4ac
2ax+b=±√(b²-4ac)
2ax=-b±√(b²-4ac)
x={-b±√(b²-4ac)}/(2a)

解の公式Ⅰ： ax²+bx+c=0 (a≠0) のとき
x={-b±√(b²-4ac)}/(2a)

【例題6】 2次方程式 2x²+5x-1=0 を解け。

x=(-5±√{5²-4×2×(-1)})/(2×2)=(-5±√33)/4

xの係数が偶数のとき，解の公式は次のように表せる。

ax²+bx+c=0 (a≠0 , b=2b')
x={-b±√(b²-4ac)}/(2a)
=(-2b'±√{(2b')²-4ac})/(2a)
=(-2b'±√{4(b')²-4ac})/(2a)
={-2b'±√(4{(b')²-ac})}/(2a)
=(-2b'±2√{(b')²-ac})/(2a)
={2(-b'±√{(b')²-ac})}/(2a)
=(-b'±√{(b')²-ac})/a

解の公式Ⅱ： ax²+2b'x+c=0 (a≠0) のとき
(-b'±√{(b')²-ac})/a

x²の係数が負のときは両辺に-1をかけると良い。

【例題7】 2次方程式 -3x²+8x-2=0 を解け。

解説：3x²-8x+2=0より，3x²+2(-4)x+2=0
x=(-(-4)±√{(-4)²-3×2})/3=(4±√10)/3

xの部分がax+bの形ならば，ax+bをまず求める。

【例題8】 2次方程式 5(3x+2)²+6(3x+2)-3=0 を解け。

解説：5(3x+2)²+2×3×(3x+2)-3=0より，
3x+2=(-3±√{3²-5×(-3)})/5=(-3±√24)/5=(-3±2√6)/5
3x=(-13±2√6)/5 ∴x=(-13±2√6)/15

作成日：2019年2月21日
更新日：2019年5月5日

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目次

正負の数

文字式

展開

因数分解

平方根

2次方程式

コメント欄

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