【sWIKI】からのお知らせ
14日（金）11時30分頃から約3時間、閲覧できない状態となりました。復旧作業、及び差分チェッカーのバックアップ作業を行いました。御迷惑をお掛けし、申し訳御座いませんでした。
デュラチャ数学（中学レベル） のバックアップ(No.9)

中学生のデュラチャ民をお助けします。
2019年に完成予定です。
あなたは、830番目のお客様です。
今日は、2人のお客様が訪問しました。
昨日は、0人のお客様が訪問しました。

目次 Edit

平方根
コメント欄

▲ ▼

展開 Edit



単項式と多項式の積，または多項式同士の積を
1つの多項式で表すことを展開するという。


【例題1】 3(x-2)を展開せよ。

解説：分配法則a(b-c)=ab-acより，3(x-2)=3x-6



次に多項式同士の積について考えてみよう。
(a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。


(a+b)(c+d)
=e(c+d)
=ec+ed
=(a+b)c+(a+b)d
=ac+bc+ad+bd
=ac+ad+bc+bd


これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。


(x+a)(x+b)
=x²+bx+ax+ab
=x²+(a+b)x+ab


(x+a)²
=(x+a)(x+a)
=x²+ax+ax+a²
=x²+2ax+a²


(x-a)²
=(x-a)(x-a)
=x²-ax-ax+a²
=x²-2ax+a²


(x+a)(x-a)
=x²-ax+ax-a²
=x²-a²


(ax+b)(cx+d)
=acx²+adx+bcx+bd
=acx²+(ad+bc)x+bd


【例題2】 4(x+1)(x-2)を展開せよ。

解説：4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2)
=4(x²-x-2)=4x²-4x-8



【例題3】 (x+6)²を展開せよ。

解説：(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36



【例題4】 2(x-3)²を展開せよ。

解説：2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²)
=2(x²-6x+9)=2x²-12x+18



【例題5】 (x+7)(x-7)を展開せよ。

解説：(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49



【例題6】 (3x-4)(5x+3)を展開せよ。

解説：(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12



共通部分をまとめたり，項の順序を入れ替えたり
することで簡単に展開できる場合がある。


【例題6】 (x+y-2)(x+y+5)を展開せよ。

解説：(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5}
=(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10
=x²+2xy+y²+3x+3y-10



【例題7】 (x+4)²(x-4)²を展開せよ。
解説：(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4)
={(x+4)(x-4)}²={(x²-4²)}²=(x²-16)²
=(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256
※灰色の枠内では2以外の指数を表示できない。


【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)を展開せよ。
解説： (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
=(a²+b²+ab)(a²+b²-ab)={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab}
=(a²+b²)²-(ab)²=(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b²
=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴
＆ｂｒ；

▲ ▼

平方根 Edit



この単元で登場する小文字は全て正とする。
aと-aはまとめて±aと表すことができ，
プラスマイナスaと読む。


【例題1】 2と-2をまとめよ。

解説：2と-2をまとめると±2となる。



2乗してaになる数をaの平方根という。
aの平方根のうち，負でない方を
√aと表し，ルートaと読む。
※0についても同様に考えると
0の平方根は0であり，
0は負ではないから√0=0となる。


【例題2】 16の平方根を求めよ。
また，√9の値を求めよ。

解説：2乗して16になる数は4と-4の
2種類だから16の平方根は±4
2乗して9になる数は3と-3の2種類だが，
負でない方は3だから√9=3



√aは面積がaである正方形の
1辺の長さとも言い換えられる。
よって，次の公式が得られる。
(√a)²=a
一般に，(-A)²=A²が成り立つから
A=√aとおくことで次の公式が得られる。
(-√a)²=a
これより，aの平方根は±√aと表せる。


【例題3】 17の平方根を求めよ。

解説：17の平方根は±√17

※例題2においても16の平方根は
±√16と表せるが，√16=4と簡単な数で
表せるので16の平方根は±4となる。


先ほど，√aは面積がaである正方形の
1辺の長さと説明した。正方形の面積が
大きいほど1辺の長さも大きくなるから
aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。


【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。

解説：√a=5とおくと，両辺を2乗して
a=25と求まるから5=√25
√23<√25より，√23<5と求まる。



公式(√a)²=aを利用すると
(√a×√b)²=√a×√b×√a×√b
=√a×√a×√b×√b
=a×b
=ab
{√(ab)}²=ab
これより，(√a×√b)²={√(ab)}²
A²=B²のとき，AとBの符号が一致するなら
A=Bが成り立つから次の公式が得られる。
√a×√b=√(ab)
同様にして次の公式も得られる。
(√b)/(√a)=√(b/a)


【例題5】 √2×√3を計算せよ。
また，(√15)/(√3)を計算せよ。

解説：√2×√3=√(2×3)=√6
(√15)/(√3)=√(15/3)=√5



2,3,5,7のように正の約数が2個しかない
自然数を素数といい，自然数を
素数の積で表すことを素因数分解という。


【例題6】 60を素因数分解せよ。

解説：60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より，
割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5



ある数に√aをかけるとき，×を省略できる。
ここで，公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると
√(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a
よって，次の公式が得られる。
√(k²a)=k√a


【例題7】 √48をa√bの形で表せ。
（bはできるだけ小さくすること）

解説：√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3



ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより，
xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。
a√c+b√c=(a+b)√c
a√c-b√c=(a-b)√c
※√の中は足し引きできない。
例えば√4+√9=2+3=5より，√4+√9≠√13


【例題8】 √18-√8を計算せよ。

解説：√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2

※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。


展開や因数分解の公式を
利用すれば複雑な計算もできる。


【例題9】 {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-
{(7+4√3)²-(7-4√3)²}²を計算せよ。

解説：(7+4√3)²=A , (7-4√3)²=Bとおくと
{(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-{(7+4√3)²-(7-4√3)²}² 
=(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)}
=2A×2B=4AB=4(7+4√3)²(7-4√3)²
=4{(7+4√3)(7-4√3)}²=4(49-48)²=4



分数の分母に√を含むとき，分母の√を
分子に移動させることを分母の有理化という。
分母を有理化するには分母と分子に
同じ値をかければ良い。


【例題10】 1/√20の分母を有理化せよ。

解説：1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5)
=(1×√5)/{(2√5)×√5}=(√5)/(2×5)=(√5)/10



展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば
分母が複雑な場合も分母を有理化できる。


【例題11】 1/(√5+√2)の分母を有理化せよ。

解説：1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)}
=(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3



作成日：2018年8月7日
最終更新日：2018年8月8日

▲ ▼

コメント欄 Edit


最新の10000件を表示しています。 コメントページを参照 画像を非表示

  • 本日カウンターをつけました。 -- アド❄? 2018-08-08 (水) 19:22:37
お名前:

  URL B I U SIZE Black Maroon Green Olive Navy Purple Teal Gray Silver Red Lime Yellow Blue Fuchsia Aqua White




































































































ホーム リロード   新規 下位ページ作成 コピー 編集 添付 一覧 最終更新 差分 バックアップ 検索   凍結 名前変更     最終更新のRSS