デュラチャ数学（中学レベル） のバックアップ(No.16)

中学生のデュラチャ民をお助けします。
2019年に完成予定です。
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目次 Edit



展開


因数分解


平方根


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展開 Edit



単項式と多項式の積，または多項式同士の積を
1つの多項式で表すことを展開という。
※+や-の演算記号を含まない式を単項式といい，
単項式の和で表される式を多項式という。


【例題1】 3(x-2)を展開せよ。

解説：分配法則a(b-c)=ab-acより，3(x-2)=3x-6



次に多項式同士の積について考えてみよう。
(a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。


(a+b)(c+d)
=e(c+d)
=ec+ed
=(a+b)c+(a+b)d
=ac+bc+ad+bd
=ac+ad+bc+bd


これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。


(x+a)(x+b)
=x²+bx+ax+ab
=x²+(a+b)x+ab


(x+a)²
=(x+a)(x+a)
=x²+ax+ax+a²
=x²+2ax+a²


(x-a)²
=(x-a)(x-a)
=x²-ax-ax+a²
=x²-2ax+a²


(x+a)(x-a)
=x²-ax+ax-a²
=x²-a²


展開の公式：
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
(x+a)²=x²+2ax+a²
(x-a)²=x²-2ax+a²
(x+a)(x-a)=x²-a²


【例題2】 4(x+1)(x-2)を展開せよ。

解説：4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2)
=4(x²-x-2)=4x²-4x-8



【例題3】 (x+6)²を展開せよ。

解説：(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36



【例題4】 2(x-3)²を展開せよ。

解説：2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²)
=2(x²-6x+9)=2x²-12x+18



【例題5】 (x+7)(x-7)を展開せよ。

解説：(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49



【例題6】 (3x-4)(5x+3)を展開せよ。

解説：(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12



共通部分をまとめたり，項の順序を入れ替えたり
することで簡単に展開できる場合がある。


【例題6】 (x+y-2)(x+y+5)を展開せよ。

解説：(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5}
=(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10
=x²+2xy+y²+3x+3y-10



【例題7】 (x+4)²(x-4)²を展開せよ。

解説：(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4)
={(x+4)(x-4)}²={(x²-4²)}²=(x²-16)²
=(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256



【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)を展開せよ。

解説： (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
=(a²+b²+ab)(a²+b²-ab)
={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab}
=(a²+b²)²-(ab)²
=(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b²
=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴



作成日：8月14日
最終更新日：8月14日

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因数分解 Edit



ある多項式を単項式と多項式，
または多項式同士の積で表すことを
因数分解という。また，ある多項式の
各項に共通に含まれる整数や文字のことを
共通因数といい，共通因数を前に出すことを
共通因数でくくるという。一般に，共通因数で
くくることで因数分解することができる。


【例題1】 9a²x+3ax²-6axを因数分解せよ。

解説：9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2)



共通因数が見当たらない場合は，
展開の公式の両辺を入れ替えた
式を利用することで因数分解できる。


因数分解の公式：
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x²+2ax+a²=(x+a)²
x²-2ax+a²=(x-a)²
x²-a²=(x+a)(x-a)


【例題2】 3x²-6x-45を因数分解せよ。

解説：3x²-6x-45=3(x²-2x-15)
足して-2，かけて-15になる2数は
3と-5より，3x²-6x-45=3(x+3)(x-5)



【例題3】 x²+10x+25を因数分解せよ。

解説：x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)²

※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。


【例題4】 9x²-24ax+16a²を因数分解せよ。

解説：9x²-24ax+16a²
=(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)²



【例題5】 2x²-162を因数分解せよ。

解説： 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9)



共通部分を置き換えることで
簡単に因数分解できる場合がある。


【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10を因数分解せよ。

解説：x-2=aとおくと，(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10
足して-3，かけて-10になる2数は2と-5より，
a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7)
よって，(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7)



作成日：8月14日
最終更新日：8月14日

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平方根 Edit



この単元で登場する小文字は全て正とする。
aと-aはまとめて±aと表すことができ，
プラスマイナスaと読む。


【例題1】 2と-2をまとめよ。

解説：2と-2をまとめると±2となる。



2乗してaになる数をaの平方根という。
aの平方根のうち，負でない方を
√aと表し，ルートaと読む。
※0についても同様に考えると
0の平方根は0であり，
0は負ではないから√0=0となる。


【例題2】 16の平方根を求めよ。
また，√待ち合わせ場所に頼むよ、会いたいよぉの見つけた、会いたいよぉの見つけた、会いたいよぉの見つけた、何歳が！
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