デュラチャ中学数学 のバックアップ差分(No.10)
中学生のデュラチャ民をお助けします。 2019年に完成予定です。 あなたは、&color(red){&counter(total);};番目のお客様です。 今日は、&color(red){&counter(today);};人のお客様が訪問しました。 昨日は、&color(red){&counter(yesterday);};人のお客様が訪問しました。 RIGHT:作成者 [[アド★彡]] RIGHT:作成者 [[アド★彡]] &br; *目次[#l4ca97a5] &br; [[正負の数>#me677219]] &br; [[展開>#s0591411]] &br; [[因数分解>#b69ede33]] &br; [[平方根>#s3704e61]] &br; [[2次方程式>#xab6bb5d]] &br; [[コメント欄>#rb63a000]] &br; *正負の数 [#me677219] &br; 0より大きい数字を&color(red){正の数};といい、 0より小さい数字を&color(red){負の数};という。 5や2.4といった数字は正の数であるが、 これらの数字の直前には&color(red){+(プラス)};という 記号が省略されていて、これを&color(red){正の符号};という。 (例:5=+5 , 2.4=+2.4) Aを正の数としたとき、0よりA小さい数字を &color(red){- (マイナス)};という記号を用いて &color(red){-a};と表し、この記号を&color(red){負の符号};という。 (例:0より3小さい数字は-3) &br; 【例題1】 0より8大きい数字を符号を用いて表せ。 解説:+8 (8の直前には+が省略されている) &br; 数直線において、0からの距離を&color(red){絶対値};という。 3は0より3大きい数字なので絶対値は3であり、 &color(black){-};3も0より3小さい数字なので絶対値は3となる。 &br; 【例題2】 絶対値が6になる数字を答えよ。 解説:6と-6 (どちらも0から6だけ離れている) &br; 一般に、数直線の右側にある数字ほど&color(red){大きくなる};。 &br; 【例題3】 -5と-7の大小関係を不等号で表せ。 解説:-5>-7 (-5の方が右側にある) &br; 正負の計算には次のようなルールがある。 &color(red){+,-,×,÷は連続してはいけない。}; 4に-1を足すときは4+-1ではなく、( )を 補って4+(-1)と表さなければならない。 引く、かける、割るときも同様である。 正負の四則演算は次のように決める。 計算に関わる&color(red){-};の個数が&color(red){奇数};のときは計算結果に &color(red){-};がつき、&color(red){偶数};のときは計算結果に&color(red){+};がつく。 最終的な計算は&color(red){数直線};で考えると良い。 &color(red){( )}; → &color(red){{ }}; → &color(red){[ ]}; → &color(red){×,÷}; → &color(red){+,-}; の順に計算する必要があるので気を付ける。 なお、aとbは0以上の数字とし、 割り算においてはb≠0とする。 &br; &color(red){a+(-b)=a-b}; &color(red){a-(-b)=a+b}; &color(red){(-a)+(-b)=-a-b}; &color(red){(-a)-(-b)=-a+b}; &color(red){a×(-b)=-(a×b)}; &color(red){(-a)×b=-(a×b)}; &color(red){(-a)×(-b)=a×b}; &color(red){a÷(-b)=-(a÷b)}; &color(red){(-a)÷b=-(a÷b)}; &color(red){(-a)÷(-b)=a÷b}; ※計算に関わる部分の-の個数を数える。 たとえば、(-a)+(-b)では-が2個あるが 計算に関わるのは+とその右側の-であり、 &color(black){-};は1個となるので-a-bとなる。 &br; 【例題4】 7+(-3)×{-6-(-4)} を計算せよ。 解説:7+(-3)×{-6-(-4)}=7+(-3)×(-6+4) =7+(-3)×(-2)=7+3×2=7+6=13 &br; 足し算とかけ算においては次の等式が成り立つ。 &br; &color(red){A+B=B+A}; &color(red){A+(B+C)=(A+B)+C}; &color(red){A×B=B×A}; &color(red){A×(B×C)=(A×B)×C }; &br; 【例題5】 (-82)+100 を計算せよ。 解説:(-82)+100=100+(-82)=100-82=18 &br; これまでは、分数において分子が分母よりも 大きくなる場合は帯分数(1と3分の2など)に 直していたが、今後は&color(red){仮分数};(3分の5など)で良い。 &br; 【例題6】 -(2/3)÷(5/9) を計算せよ。 解説:-(2/3)÷(5/9)=-{(3/2)÷(5/9)} =-{(2/3)×(9/5)}=-(6/5) &br; 同じ数字をかけ合わせものをその数字の&color(red){累乗};という。 たとえば、4×4は4²と表して&color(red){4の2乗};と読み、 右肩の数字を&color(red){指数};という。(ここでは2が指数) 逆に、4²は4×4のことであり、計算すると16になる。 負の数の累乗を表現するときは(-4)²のように &color(red){( )};で挟む。-4²と表現した場合は-4ではなく 4をかけ合わせることになり、計算すると-16になる。 指数はその直前の数字にしか効果がない。 &br; 【例題7】 (-2)⁴÷(-2²)を計算せよ。 解説:(-2)⁴÷(-2²) =(-2)×(-2)×(-2)×(-2)÷{-(2×2)} =16÷(-4)=-4 &br; 【例題8】 2+3²を計算せよ。 解説:2+3²=2+3×3=2+9=11 ※指数はその直前の数字にしか効果がない。 よって、2+3²=(2+3)²とはならない。 &br; 作成日:2020年3月28日 更新日:2020年3月28日 &br; *文字式 [#k965aa68] &br; 文字を用いた式のことを&color(red){文字式};といい、 乗法、除法の計算結果をそれぞれ&color(red){積、商};という。 ※足し算を加法、引き算を減法といい、 かけ算を乗法、割り算を除法という。 &br; &color(red){文字を用いた積の表し方}; [1] 数字と文字の積では数字を先に書く。 [2] 文字同士の積ではアルファベット順に書く。 (敢えてアルファベット順にしないこともある) [3] 文字を含む乗法では&color(red){×を省略};する。 [4] 1と文字の積、-1と文字の積では1を省略する。 [5] 同じ文字の積は指数を用いて表す。 &br; &color(red){文字を用いた商の表し方}; [1] 文字を含む除法では&color(red){÷};を用いずに&color(red){分数};で表す。 [2] 文字式に限らず、分母や分子に&color(red){負の符号};が あるときは&color(red){その-を分数の左側に移動};させる。 &br; 【例題1】 次の積を文字式の表し方に従って表せ。 (1) x×3 (2) y×z×x (3) a×1 (4) b×(-1) (5) b×a×b×(-2) (6) a÷(-3) 解説:(1) x×3=3×x=3x , (2) y×z×x=x×y×z=xyz (3) a×1=1×a=1a=a , (4) b×(-1)=(-1)×b=-1b=-b (5) b×a×b×(-2)=(-2)×a×b×b=-2ab² (6) a÷(-3)=a×{1/(-3)}=a×{-(1/3)}=-(1/3)a (a÷(-3)=a/(-3)=-(a/3)としても良い) &br; いろいろな数量を文字式で表してみよう。 &br; 【例題2】 200円の商品をx個と300円の 商品をy個買ったときの値段を求めよ。 解説:200×x+300×y=200x+300y よって、値段は(200x+300y)円。 &br; 円周率3.141592・・・を&color(red){π};と表し、&color(red){パイ};と読む。 πは特殊な文字であり、&color(red){文字の前、数字の後ろ};に書く。 特殊とはいえ、πは文字であるから&color(red){×は省略};する。 &br; 【例題3】 半径 r cmの円について考える。 円周の長さおよび面積を求めよ。(円周率π) 解説:円周の長さはr×2×π=2πr[cm] 面積はr×r×π=π×r×r=πr²[cm²] ※1=1cmは成り立たないので、[ ]の中に単位を 補足した。2πr[cm]という式があるわけではない。 答えるときは2πr cm , πr² cm²などと書く。 &br; To Be Continued ・・・ &br; *展開 [#s0591411] &br; 単項式と多項式の積,または多項式同士の積を 1つの多項式で表すことを&color(red){展開する};という。 ※+や-の演算記号を含まない式を単項式といい, 単項式の和で表される式を多項式という。 たとえば、例題1においては3が単項式であり, x-2が多項式である。(x-2=x+(-2)と表せ, xと-2は単項式であるからx-2は多項式) &br; 【例題1】 3(x-2) を展開せよ。 解説:分配法則a(b-c)=ab-acより,3(x-2)=3x-6 &br; 次に多項式同士の積について考えてみよう。 (a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。 &br; (a+b)(c+d) =e(c+d) =ec+ed =(a+b)c+(a+b)d =ac+bc+ad+bd =ac+ad+bc+bd &br; これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。 &br; (x+a)(x+b) =x²+bx+ax+ab =x²+(a+b)x+ab &br; (x+a)² =(x+a)(x+a) =x²+ax+ax+a² =x²+2ax+a² &br; (x-a)² =(x-a)(x-a) =x²-ax-ax+a² =x²-2ax+a² &br; (x+a)(x-a) =x²-ax+ax-a² =x²-a² &br; 展開の公式: &color(red){(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab}; &color(red){(x+a)²=x²+2ax+a²}; &color(red){(x-a)²=x²-2ax+a²}; &color(red){(x+a)(x-a)=x²-a²}; &br; 【例題2】 4(x+1)(x-2) を展開せよ。 解説:4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2) =4(x²-x-2)=4x²-4x-8 &br; 【例題3】 (x+6)² を展開せよ。 解説:(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36 &br; 【例題4】 2(x-3)² を展開せよ。 解説:2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²) =2(x²-6x+9)=2x²-12x+18 &br; 【例題5】 (x+7)(x-7) を展開せよ。 解説:(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49 &br; 【例題6】 (3x-4)(5x+3) を展開せよ。 解説:(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12 &br; 共通部分をまとめたり,項の順序を入れ替えたり することで簡単に展開できる場合がある。 &br; 【例題6】 (x+y-2)(x+y+5) を展開せよ。 解説:(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5} =(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10 =x²+2xy+y²+3x+3y-10 &br; 【例題7】 (x+4)²(x-4)² を展開せよ。 解説:(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4) ={(x+4)(x-4)}²=(x²-4²)²=(x²-16)² =(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256 &br; 【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) を展開せよ。 解説: (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) =(a²+b²+ab)(a²+b²-ab) ={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab} =(a²+b²)²-(ab)² =(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b² =a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴ &br; 作成日:2018年8月14日 最終更新日:2019年8月14日 &br; *因数分解 [#b69ede33] &br; ある多項式を単項式と多項式, または多項式同士の積で表すことを &color(red){因数分解する};という。また,ある多項式の 各項に共通に含まれる整数や文字のことを 共通因数といい,共通因数を前に出すことを &color(red){共通因数でくくる};という。一般に,共通因数で くくることで因数分解することができる。 &br; 【例題1】 9a²x+3ax²-6ax を因数分解せよ。 解説:9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2) &br; 共通因数が見当たらない場合は, 展開の公式の両辺を入れ替えた 式を利用することで因数分解できる。 &br; 因数分解の公式: &color(red){x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}; &color(red){x²+2ax+a²=(x+a)²}; &color(red){x²-2ax+a²=(x-a)²}; &color(red){x²-a²=(x+a)(x-a)}; &br; 【例題2】 3x²-6x-45 を因数分解せよ。 解説:3x²-6x-45=3(x²-2x-15) 足して-2,かけて-15になる2数は 3と-5より,3x²-6x-45=3(x+3)(x-5) &br; 【例題3】 x²+10x+25 を因数分解せよ。 解説:x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)² ※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。 &br; 【例題4】 9x²-24ax+16a² を因数分解せよ。 解説:9x²-24ax+16a² =(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)² &br; 【例題5】 2x²-162 を因数分解せよ。 解説: 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9) &br; 共通部分を置き換えることで 簡単に因数分解できる場合がある。 &br; 【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10 を因数分解せよ。 解説:x-2=aとおくと,(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10 足して-3,かけて-10になる2数は2と-5より, a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7) よって,(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7) &br; 作成日:2018年8月14日 更新日:2018年8月14日 &br; *平方根 [#s3704e61] &br; この単元で登場する小文字は全て正とする。 aと-aはまとめて&color(red){±a};と表すことができ, &color(red){プラスマイナスa};と読む。 &br; 【例題1】 2と-2をまとめよ。 解説:2と-2をまとめると±2となる。 &br; 2乗してaになる数字を&color(red){aの平方根};という。 aの平方根のうち,負でない方を &color(Red){√a};と表し,&color(Red){ルートa};と読む。 ※0についても同様に考えると 0の平方根は&color(blue){0};であり, &color(blue){0};は負ではないから√0=&color(blue){0};となる。 &br; 【例題2】 16の平方根を求めよ。 また,√9の値を求めよ。 解説:2乗して16になる数字は4と-4の 2種類だから16の平方根は±4 2乗して9になる数字は3と-3の2種類だが, 負でない方は3だから√9=3 &br; √aは面積がaである正方形の 1辺の長さとも言い換えられる。 よって,次の公式が得られる。 &color(red){(√a)²=a}; 一般に,(-A)²=A²が成り立つから A=√aとおくことで次の公式が得られる。 &color(red){(-√a)²=a}; これより,aの平方根は&color(red){±√a};と表せる。 &br; 【例題3】 17の平方根を求めよ。 解説:17の平方根は±√17 ※例題2においても16の平方根は ±√16と表せるが,√16=4と簡単な数字で 表せるので16の平方根は±4となる。 &br; 先ほど,√aは面積がaである正方形の 1辺の長さと説明した。正方形の面積が 大きいほど1辺の長さも大きくなるから &color(red){aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。}; &br; 【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。 解説:√a=5とおくと,両辺を2乗して a=25と求まるから5=√25 √23<√25より,√23<5と求まる。 &br; 公式(√a)²=aを利用すると (√a×√b)²=√a×√b×√a×√b =√a×√a×√b×√b =a×b =ab {√(ab)}²=ab これより,(√a×√b)²={√(ab)}² A²=B²のとき,AとBの符号が一致するなら A=Bが成り立つから次の公式が得られる。 &color(red){√a×√b=√(ab)}; 同様にして次の公式も得られる。 &color(red){(√b)/(√a)=√(b/a)}; &br; 【例題5】 √2×√3 を計算せよ。 また,(√15)/(√3) を計算せよ。 解説:√2×√3=√(2×3)=√6 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5 &br; 2,3,5,7のように正の約数が2個しかない 自然数を&color(red){素数};といい,自然数を 素数の積で表すことを&color(red){素因数分解};という。 &br; 【例題6】 60を素因数分解せよ。 解説:60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より, 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5 &br; ある数字に√aをかけるとき,&color(red){×を省略できる。}; ここで,公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると √(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a よって,次の公式が得られる。 &color(red){√(k²a)=k√a}; &br; 【例題7】 √48をa√bの形で表せ。 (bはできるだけ小さくすること) 解説:√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3 &br; ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより, xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。 &color(red){a√c+b√c=(a+b)√c}; &color(red){a√c-b√c=(a-b)√c}; ※√の中は足し引きできない。 例えば√4+√9=2+3=5より,√4+√9≠√13 &br; 【例題8】 √18-√8 を計算せよ。 解説:√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2 ※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。 &br; 展開や因数分解の公式を 利用すれば複雑な計算もできる。 &br; 【例題9】 {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²- {(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² を計算せよ。 解説:(7+4√3)⁴=A , (7-4√3)⁴=Bとおくと {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)} =2A×2B=4AB=4(7+4√3)⁴(7-4√3)⁴ =4{(7+4√3)(7-4√3)}⁴=4(49-48)⁴=4 &br; 分数の分母に√を含むとき,分母の√を 分子に移動させることを&color(red){分母の有理化};という。 分母を有理化するには分母と分子に 同じ値をかければ良い。 &br; 【例題10】 1/√20 の分母を有理化せよ。 解説:1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5) =(1×√5)/(2√5×√5)=(√5)/(2×5)=(√5)/10 &br; 展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば 分母が複雑な場合も分母を有理化できる。 &br; 【例題11】 1/(√5+√2) の分母を有理化せよ。 解説:1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)} =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3 &br; 作成日:2018年8月7日 更新日:2018年8月16日 &br; *2次方程式 [#xab6bb5d] &br; (xの2次式)=0の形で表される方程式を xについての&color(red){2次方程式};という。 &br; 【例題1】 2次方程式 x²=32 を解け。 解説:x=±√32=±4√2 &br; 【例題2】 2次方程式 x²-6x+9=0 を解け。 解説:x²-6x+9=(x-3)²=0 ∴x=3 &br; 【例題3】 2次方程式 x²=-8 を解け。 解説:2乗して負になる数字は存在しない。∴解なし &br; 上記の例題より,2次方程式の解は&color(red){0~2個};存在する。 2次方程式の解が2個のときは例題1のように &color(red){±};で表す他に&color(red){カンマ};を用いて解を表すことがある。 &br; 【例題4】 2次方程式 x²-3x-10=0 を解け。 解説:x²-3x-10=(x+2)(x-5)=0 ∴x=-2,5 &br; 移項することで解ける2次方程式もある。 &br; 【例題5】 2次方程式 (2x+1)(x-3)=3x²+x+6 を解け。 解説:(2x+1)(x-3)=2x²-5x-3より,2x²-5x-3=3x²+x+6 左辺を右辺に移項して両辺を入れ替えると x²+6x+9=(x+3)²=0 ∴x=-3 &br; 2次方程式の中には因数分解できないものもある。 そういうときは,両辺に数字を加えたり引いたり してから因数分解すれば良い。こうすることで どんな2次方程式でも解けるようになる。 ax²+bx+c=0 (a≠0) の解を求めてみよう。 &br; ax²+bx+c=0 (a≠0) 4a(ax²+bx+c)=0 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac (2ax)²+2(2ax)b=-4ac (2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac (2ax+b)²=b²-4ac 2ax+b=±√(b²-4ac) 2ax=-b±√(b²-4ac) x={-b±√(b²-4ac)}/(2a) &br; 解の公式Ⅰ: ax²+bx+c=0 (a≠0) のとき &color(red){x={-b±√(b²-4ac)}/(2a) }; &br; 【例題6】 2次方程式 2x²+5x-1=0 を解け。 x=(-5±√{5²-4×2×(-1)})/(2×2)=(-5±√33)/4 &br; xの係数が偶数のとき,解の公式は次のように表せる。 &br; ax²+bx+c=0 (a≠0 , b=2b') x={-b±√(b²-4ac)}/(2a) =(-2b'±√{(2b')²-4ac})/(2a) =(-2b'±√{4(b')²-4ac})/(2a) ={-2b'±√(4{(b')²-ac})}/(2a) =(-2b'±2√{(b')²-ac})/(2a) ={2(-b'±√{(b')²-ac})}/(2a) =(-b'±√{(b')²-ac})/a &br; 解の公式Ⅱ: ax²+2b'x+c=0 (a≠0) のとき &color(red){(-b'±√{(b')²-ac})/a}; &br; x²の係数が負のときは両辺に-1をかけると良い。 &br; 【例題7】 2次方程式 -3x²+8x-2=0 を解け。 解説:3x²-8x+2=0より,3x²+2(-4)x+2=0 x=(-(-4)±√{(-4)²-3×2})/3=(4±√10)/3 &br; xの部分がax+bの形ならば,ax+bをまず求める。 &br; 【例題8】 2次方程式 5(3x+2)²+6(3x+2)-3=0 を解け。 解説:5(3x+2)²+2×3×(3x+2)-3=0より, 3x+2=(-3±√{3²-5×(-3)})/5=(-3±√24)/5=(-3±2√6)/5 3x=(-13±2√6)/5 ∴x=(-13±2√6)/15 &br; 作成日:2019年2月21日 更新日:2019年5月5日 &br; *コメント欄 [#rb63a000] &br; #pcomment(,10000,reply,,nomove); &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; &br; |