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デュラチャ数学(中学レベル)
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中学生のデュラチャ民をお助けします。
2019年に完成予定です。
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目次 Edit



展開


因数分解


平方根


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展開 Edit



単項式と多項式の積,または多項式同士の積を
1つの多項式で表すことを展開という。
※+や-の演算記号を含まない式を単項式といい,
単項式の和で表される式を多項式という。


【例題1】 3(x-2)を展開せよ。

解説:分配法則a(b-c)=ab-acより,3(x-2)=3x-6



次に多項式同士の積について考えてみよう。
(a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。


(a+b)(c+d)
=e(c+d)
=ec+ed
=(a+b)c+(a+b)d
=ac+bc+ad+bd
=ac+ad+bc+bd


これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。


(x+a)(x+b)
=x²+bx+ax+ab
=x²+(a+b)x+ab


(x+a)²
=(x+a)(x+a)
=x²+ax+ax+a²
=x²+2ax+a²


(x-a)²
=(x-a)(x-a)
=x²-ax-ax+a²
=x²-2ax+a²


(x+a)(x-a)
=x²-ax+ax-a²
=x²-a²


展開の公式:
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
(x+a)²=x²+2ax+a²
(x-a)²=x²-2ax+a²
(x+a)(x-a)=x²-a²


【例題2】 4(x+1)(x-2)を展開せよ。

解説:4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2)
=4(x²-x-2)=4x²-4x-8



【例題3】 (x+6)²を展開せよ。

解説:(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36



【例題4】 2(x-3)²を展開せよ。

解説:2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²)
=2(x²-6x+9)=2x²-12x+18



【例題5】 (x+7)(x-7)を展開せよ。

解説:(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49



【例題6】 (3x-4)(5x+3)を展開せよ。

解説:(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12



共通部分をまとめたり,項の順序を入れ替えたり
することで簡単に展開できる場合がある。


【例題6】 (x+y-2)(x+y+5)を展開せよ。

解説:(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5}
=(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10
=x²+2xy+y²+3x+3y-10



【例題7】 (x+4)²(x-4)²を展開せよ。

解説:(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4)
={(x+4)(x-4)}²={(x²-4²)}²=(x²-16)²
=(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256



【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)を展開せよ。

解説: (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
=(a²+b²+ab)(a²+b²-ab)
={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab}
=(a²+b²)²-(ab)²
=(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b²
=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴



作成日:8月14日
最終更新日:8月14日

因数分解 Edit



ある多項式を単項式と多項式,
または多項式同士の積で表すことを
因数分解という。また,ある多項式の
各項に共通に含まれる整数や文字のことを
共通因数といい,共通因数を前に出すことを
共通因数でくくるという。一般に,共通因数で
くくることで因数分解することができる。


【例題1】 9a²x+3ax²-6axを因数分解せよ。

解説:9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2)



共通因数が見当たらない場合は,
展開の公式の両辺を入れ替えた
式を利用することで因数分解できる。


因数分解の公式:
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x²+2ax+a²=(x+a)²
x²-2ax+a²=(x-a)²
x²-a²=(x+a)(x-a)


【例題2】 3x²-6x-45を因数分解せよ。

解説:3x²-6x-45=3(x²-2x-15)
足して-2,かけて-15になる2数は
3と-5より,3x²-6x-45=3(x+3)(x-5)



【例題3】 x²+10x+25を因数分解せよ。

解説:x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)²

※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。


【例題4】 9x²-24ax+16a²を因数分解せよ。

解説:9x²-24ax+16a²
=(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)²



【例題5】 2x²-162を因数分解せよ。

解説: 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9)



共通部分を置き換えることで
簡単に因数分解できる場合がある。


【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10を因数分解せよ。

解説:x-2=aとおくと,(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10
足して-3,かけて-10になる2数は2と-5より,
a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7)
よって,(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7)



作成日:8月14日
最終更新日:8月14日

平方根 Edit



この単元で登場する小文字は全て正とする。
aと-aはまとめて±aと表すことができ,
プラスマイナスaと読む。


【例題1】 2と-2をまとめよ。

解説:2と-2をまとめると±2となる。



2乗してaになる数をaの平方根という。
aの平方根のうち,負でない方を
√aと表し,ルートaと読む。
※0についても同様に考えると
0の平方根は0であり,
0は負ではないから√0=0となる。


【例題2】 16の平方根を求めよ。
また,√9の値を求めよ。

解説:2乗して16になる数は4と-4の
2種類だから16の平方根は±4
2乗して9になる数は3と-3の2種類だが,
負でない方は3だから√9=3



√aは面積がaである正方形の
1辺の長さとも言い換えられる。
よって,次の公式が得られる。
(√a)²=a
一般に,(-A)²=A²が成り立つから
A=√aとおくことで次の公式が得られる。
(-√a)²=a
これより,aの平方根は±√aと表せる。


【例題3】 17の平方根を求めよ。

解説:17の平方根は±√17

※例題2においても16の平方根は
±√16と表せるが,√16=4と簡単な数で
表せるので16の平方根は±4となる。


先ほど,√aは面積がaである正方形の
1辺の長さと説明した。正方形の面積が
大きいほど1辺の長さも大きくなるから
aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。


【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。

解説:√a=5とおくと,両辺を2乗して
a=25と求まるから5=√25
√23<√25より,√23<5と求まる。



公式(√a)²=aを利用すると
(√a×√b)²=√a×√b×√a×√b
=√a×√a×√b×√b
=a×b
=ab
{√(ab)}²=ab
これより,(√a×√b)²={√(ab)}²
A²=B²のとき,AとBの符号が一致するなら
A=Bが成り立つから次の公式が得られる。
√a×√b=√(ab)
同様にして次の公式も得られる。
(√b)/(√a)=√(b/a)


【例題5】 √2×√3を計算せよ。
また,(√15)/(√3)を計算せよ。

解説:√2×√3=√(2×3)=√6
(√15)/(√3)=√(15/3)=√5



2,3,5,7のように正の約数が2個しかない
自然数を素数といい,自然数を
素数の積で表すことを素因数分解という。


【例題6】 60を素因数分解せよ。

解説:60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より,
割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5



ある数に√aをかけるとき,×を省略できる。
ここで,公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると
√(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a
よって,次の公式が得られる。
√(k²a)=k√a


【例題7】 √48をa√bの形で表せ。
(bはできるだけ小さくすること)

解説:√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3



ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより,
xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。
a√c+b√c=(a+b)√c
a√c-b√c=(a-b)√c
※√の中は足し引きできない。
例えば√4+√9=2+3=5より,√4+√9≠√13


【例題8】 √18-√8を計算せよ。

解説:√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2

※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。


展開や因数分解の公式を
利用すれば複雑な計算もできる。


【例題9】 {(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-
{(7+4√3)²-(7-4√3)²}²を計算せよ。

解説:(7+4√3)²=A , (7-4√3)²=Bとおくと
{(7+4√3)²+(7-4√3)²}²-{(7+4√3)²-(7-4√3)²}² 
=(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)}
=2A×2B=4AB=4(7+4√3)²(7-4√3)²
=4{(7+4√3)(7-4√3)}²=4(49-48)²=4



分数の分母に√を含むとき,分母の√を
分子に移動させることを分母の有理化という。
分母を有理化するには分母と分子に
同じ値をかければ良い。


【例題10】 1/√20の分母を有理化せよ。

解説:1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5)
=(1×√5)/{(2√5)×√5}=(√5)/(2×5)=(√5)/10



展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば
分母が複雑な場合も分母を有理化できる。


【例題11】 1/(√5+√2)の分母を有理化せよ。

解説:1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)}
=(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3



作成日:2018年8月7日
最終更新日:2018年8月8日

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